Frage: Skalarprodukt bzgl. ONB

[DonVitoCorleone]

Hallo zusammen,

Ich hab mal ne kurze Frage an die Mathecracks oder jeden anderen der mir bei meinem Grundschulstoff helfen kann:

Es sei <-,-> ein Skalarprodukt auf R² so, dass ((1,2),(2,1)) eine Orthonormalbasis von R² bzgl. <-,-> ist. Dann ist <(3,3),(0,3)> gleich: ?

Mein Gedanke war das die Koordinaten des Vektors bzgl. der ONB zu berechnen und dann das Skalarprudukt zu bilden. Aber da kommt nur Schmäh raus
Irgendwie steh ich total aufm Schlauch...

Lösung müsste:
1
sein. Aber ich komm nicht drauf.



Danke für jeden Hinweis!

[ux-3]

Hintere Vektoren als LinKomb der Basis bilden... ?
b1+b2 bzw 2b1-b2

[airbag]

Ich frage mich im Moment eher, wie (1,2) und (2,1) eine Orthonormalbasis bilden können ?(sind ja nicht mal normiert )

[Bis]

def von onb:
<(1,2),(1,2)> = <(2,1),(2,1)> = 1
<(1,2),(2,1)> = <(2,1),(1,2)> = 0

anwenden:
<(3,3),(0,3)> = <((1,2)+(2,1)),(2(1,2)-(2,1))>
= <(1,2),(2(1,2)-(2,1))> + <(2,1),(2(1,2)-(2,1))>
= 2<(1,2),(1,2)>-<(1,2),(2,1)>+2<(2,1),(1,2)>-<(2,1),(2,1)>
= 2-0+0-1 = 1

[airbag]

@Bis

Die Überlegung hatte ich auch (und sollte unabhängig von den konkreten Werten so auch stimmen)
(b1+b2|2b1-b2)
= (b1|2b1-b2) +(b2|2b1-b2)
= (2b1|b1) -(b2|b1) + (2b1|b2) - (b2|b2)
= 2(b1|b1) - 0 + 2*0 - (b2|b2)
= 2(b1|b1) - (b2|b2)

Aber irgendwie stehe ich auf dem Schlauch mit der gegebenen Menge.
In der Aufgabenstellung steht doch, dass <(1,2); (2,1)> eine Orthonormalbasis ist, was es ja nicht sein kann, weil die Vektoren nicht normiert sind.

[Bis]

nicht jedes skalarprodukt ist das standardskalarprodukt, dass gemeinhin im euklidischen raum angewandt wird ;) ein skalarprodukt ist nur eine definierte operation zwischen zwei vektoren die auf ein skalar abgebildet werden. wie das dann genau geschieht, ist für die erklärung einer onb irrelevant.

[airbag]

Es igng mir eher darum, dass die gegebene Menge keine Orthonormalbasis ist. (oder habe ich einen Denkfehler ?)
BTW dürfte es das Standardskalarprodukt sein, weil eine Orthonormalbasis gegeben ist.

[DonVitoCorleone]

def von onb:
<(1,2),(1,2)> = <(2,1),(2,1)> = 1
<(1,2),(2,1)> = <(2,1),(1,2)> = 0



Danke für die Def. Die hatte ich ein bisschen verdrängt.


Aber irgendwie stehe ich auf dem Schlauch mit der gegebenen Menge.
In der Aufgabenstellung steht doch, dass <(1,2); (2,1)> eine Orthonormalbasis ist, was es ja nicht sein kann, weil die Vektoren nicht normiert sind.

Ich dachte auch eher, dass ich irgendwie mit dieser Formel arbeiten muss:

w=∑<vi,w>vi
Für w als Vektor und v:= (v1...vn) als ONB

[Bis]

Es igng mir eher darum, dass die gegebene Menge keine Orthonormalbasis ist. (oder habe ich einen Denkfehler ?)
BTW dürfte es das Standardskalarprodukt sein, weil eine Orthonormalbasis gegeben ist.

du hast doch die freiheit, dein sp so zu definieren, dass die vektoren eine onb bilden. klar? ;)

[airbag]

du hast doch die freiheit, dein sp so zu definieren, dass die vektoren eine onb bilden. klar? ;)


Achso ^^

[ux-3]

...= 2-0+0-1 = 1

Sticky gelesen? ;)

[DonVitoCorleone]

Sticky gelesen? ;)

Hey, ich hab die Lösung ja schon davor gehabt. :smile:
Nur das Verständis fehlt (immer) noch ein bisschen.

[airbag]

Ansich ist es ja recht leicht verständlich.
Mit Hilfe der Vektoren einer Basis kann man durch Linearkombination die Vektoren des jeweiligen Vektorraums bilden.
Da eine Orthonormalbasis gegeben ist, heißt es zudem noch, dass alle Vektoren der Basismenge orthogonal zu einander sind und die Länge 1 haben (normiert ).
D.h. das Skalarprodukt zweier Vektoren aus der Basis ist immer 0, weil sie orthogonal sind.
Das Skalarprodukt eines Basisvektor mit sich selbst ist, jedoch immer "1" (ergibt sich aus den Eigenschaften einer Orthonormalbasis).
Um auf die von Bis gezeigte Ergebnis zu kommen, stellst du die Vektoren des Vektorraums als Linearkombination der Basisvektoren auf und stellst das Skalarprodukt mittels der drei Eigenschaften einer Abbildung mit Skalarprodukt um.
Also.
1.Definitheit
2.Symetrie
3.kann mich nicht errinnern, wie es heißt. aber ermöglicht sowas (2a|b) = 2(a|b)

[Mosher]

Ansich ist es ja recht leicht verständlich.
Mit Hilfe der Vektoren einer Basis kann man durch Linearkombination die Vektoren des jeweiligen Vektorraums bilden.
Da eine Orthonormalbasis gegeben ist, heißt es zudem noch, dass alle Vektoren der Basismenge orthogonal zu einander sind und die Länge 1 haben (normiert ).
D.h. das Skalarprodukt zweier Vektoren aus der Basis ist immer 0, weil sie orthogonal sind.
Das Skalarprodukt eines Basisvektor mit sich selbst ist, jedoch immer "1" (ergibt sich aus den Eigenschaften einer Orthonormalbasis).
Um auf die von Bis gezeigte Ergebnis zu kommen, stellst du die Vektoren des Vektorraums als Linearkombination der Basisvektoren auf und stellst das Skalarprodukt mittels der drei Eigenschaften einer Abbildung mit Skalarprodukt um.
Also.
1.Definitheit
2.Symetrie
3.kann mich nicht errinnern, wie es heißt. aber ermöglicht sowas (2a|b) = 2(a|b)


3. = bilinearität