[ANALYSIS]Frage zu Epsilon-Delta-Kriterium bei 1/x²

[Mosher]

Hi. Ich sitz grad über folgender Übungsaufgabe.
Da ich zuerst Probleme damit hatte, hab ich bisschen rumgegoogelt und den Ansatz mit dem vorläfigem delta entdeckt.

Klappt ja soweit ganz gut, nur, was mich wundert, wie berücksichtige ich hierbei die abschnittsweise definierte Funktion? Und v.a., ist die doch bei x_0 = 0 gar nicht stetig?

Kann mir jmd. weiterhelfen?

http://www.forum-3dcenter.org/vbulletin/attachment.php?attachmentid=38755&d=1297436132

Edit: Nachtrag:

ok, also ich habe hier quasi nur die Stetigkeit im Punkt x = 1 nachgewiesen.
würde ich oben mit einem beliebigen x_0 arbeiten, käme ich wahrscheinlich zu dem Ergebnis, dass f(x) bei x_0=0 nicht stetig ist?


Edit2:

http://www.forum-3dcenter.org/vbulletin/attachment.php?attachmentid=38756&stc=1&d=1297439894

okay, also hier hab ich mal versucht, delta(epsilon, x_0) zu bestimmen.

Hierbei kommt "schon irgendwie" raus, dass die FUnktion bei 0 nicht stetig ist, aber zufrieden bin ich damit irgendwie nicht..
Irgendwelche Anregungen?

[Bis]

linker und rechter grenzwert gegen x=0 liefert bereits unstetigkeit.

[Mosher]

Klar, gedanklich hab ich das im Vorfeld auch so gelöst.
Aufgabenstellung verlangt aber epsilon-delta-Kriterium

Ich hab gestern Nacht noch versucht, damit Unstetigkeit im Punkt 0 zu beweisen.

Dabei kam raus, dass bei x_o = 0 und epsilon = 1/100, delta > 10 sein muss

[Bis]

an x=0 kommst du auf:
|f(x) - 0| = |1/x^2| < epsilon, heisst, 1/epsilon < x^2, was aber |x - 0| < delta für alle x € D widerspricht, heisst unstetig in x=0.

[Mosher]

an x=0 kommst du auf:
|f(x) - 0| = |1/x^2| < epsilon, heisst, 1/epsilon < x^2, was aber |x - 0| < delta für alle x € D widerspricht, heisst unstetig in x=0.

ich zieh mir mal das fettgedruckte raus:

1/epsilon < x^2 --> x > sqrt(1/epsilon)

und daraus sehe ich, da ja delta nur von x_0 und epsilon abhängt und x beliebig groß werden kann, es auch mindestens ein x € D gibt, für das gilt

|x| > delta.

richtig?

Ist es dann generell so, dass ich bei solchen zusammengesetzen Funktionen die Nahtstellen gesondert einer epsilon-delta-betrachtung unterziehen muss?

wäre f(x) jetzt ohne die Fortsetzung bei x=0 angegeben, müsste ich x_0 = 0 gar nicht untersuchen, da 0 nicht in D liegt, oder?

Danke auf jeden Fall für deine hilfreichen Antworten!

[Bis]

ich zieh mir mal das fettgedruckte raus:

1/epsilon < x^2 --> x > sqrt(1/epsilon)

und daraus sehe ich, da ja delta nur von x_0 und epsilon abhängt und x beliebig groß werden kann, es auch mindestens ein x € D gibt, für das gilt

|x| > delta.

richtig?

nein, für jedes epsilon gilt sqrt(1/epsilon) = lambda < x, was heisst, dass es eine umgebung zu x=0 gibt die nicht besetzt ist, was dann der bedingung |x| < delta _für alle_ x € D widerspricht.

Ist es dann generell so, dass ich bei solchen zusammengesetzen Funktionen die Nahtstellen gesondert einer epsilon-delta-betrachtung unterziehen muss?

wäre f(x) jetzt ohne die Fortsetzung bei x=0 angegeben, müsste ich x_0 = 0 gar nicht untersuchen, da 0 nicht in D liegt, oder?

korrekt, globale stetigkeit auf R ist dann aber wegen der Lücke natürlich sofort nicht gegeben.

[hadez16]

kann mir jemand sagen für was in aller welt man sowas braucht?

[Mosher]

momentan erstmal, um die Prüfung zu bestehen ^^

Oder meinst jetzt irgendeine technische Anwendung dazu?

[airbag]

Vielleicht ist es ja in der Elektrotechnik besonders wichtig ?
Immerhin braucht man oft mathematisceh Grundlagen für bestimmte Problemlösungen. Beispielweise : der Kern einer Abbildung für Schattenwurfberechnungen von 3D Grafiken.

[Mosher]

Ja, in der Elektrotechnik taucht sowas schon manchmal auf.

Bei der Betrachtung von irgendwelchen Materialsprüngen zB