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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : [Mathe] Grenzwertberechnung OHNE L'Hospital


Mosher
2011-05-03, 21:03:23
Hi, hab so'n freiwilliges Übungsblatt bekommen und bin mir nicht sicher, ob wir dazu noch was in der Vorlesung machen.
Deshalb hier meine Frage:

Wie geh ich in solchen Fällen vor

lim(x-->unendlich) (x^1000)*exp(-sqrt(x))

ich sehe, dass x^1000 gegen unendlich geht und exp(-sqrt(x)) gegen 0 geht.
Gut, eigtl ein fall für L'Hospital, aber den darf ich laut Angabe nicht benutzen.

Es heißt ja, eponentielles Wachstum ist immer schneller als x ^ n, also gehe ich davon aus, dass der Grenzwert 0 ist. Sicher bin ich mir aber nicht, also hab ich mal folgendes versucht:

lim(x --> unendlich) (x^1000)*exp(-sqrt(x)) = lim(x-->unendlich) (exp(1000*ln(x)) * exp(-sqrt(x)) = lim (x--> unendlich) (exp [(1000 ln(x)) / sqrt(x)]

ich könnt jetzt versuchen, nur den Grenzwert vom Argument 1000ln(x) / sqrt(x) zu berechnen, komme aber auch an diesem Punkt nicht weiter.

Bitte um Hilfe. ;)

Trap
2011-05-03, 21:17:28
Du kannst die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion und die Exponentialdarstellung der Wurzel einsetzen und kürzen.

Mosher
2011-05-03, 21:39:33
richtig so? Wenn ja, wärs ja doch ziemlich einfach gewesen.

Besten Dank auf jeden Fall für die schnelle Antwort und den super Tipp!

edit: ok, durch die Wurzel müsste ich vielleicht noch bis x ^ 2001 andeuten, aber ändert ja nichts an der Vorgehensweise