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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Kombinatorik - Gaaanz einfach...


Moltke
2011-07-05, 10:36:25
aber nicht für mich! Naja...

"In einem Zimmer gibt es 8 Lampen, die unabhängig voneinander aus- und eingeschaltet werden können.

a) Wie viele verschiedene Möglichkeiten der Beleuchtung gibt es?

b) Wie viele verschiedene Möglichkeiten der Beleuchtung gibt es, wenn mindestens 6 Lampen brennen sollen?"

Frage zu a):

Kann mir einer verraten, warum es bei a) 2^8 = 256 und nicht 8^2=64 sind oder warum "aus-und eingeschaltet" das n ist und nicht die 8 Lampen.

n^k

Frage zu b.):

8!/2!*6! wie ihn n!/(n-k)!*k! ...scheint aber falsch zu sein.

Danke

PS: Bin ich froh, wenn der Mist rum ist.

Trap
2011-07-05, 11:03:19
Lös die Aufgaben doch mal durch komplettes Aufschreiben für kleinere Zahlen: 4 Lampen und für den 2. Teil 2 Lampen immer an.

Ich denke nicht, dass eine Erklärung dich weiterbringt, wenn du an der Stelle Probleme hast.

Zephyroth
2011-07-05, 11:13:24
Ich bin zwar kein Mathematiker, aber für a.) würde ich 255 angeben.


Wenn alle Kombinationen zulässig sind, dann ist die Formel "Anzahl der Zustände hoch Anzahl der Stellen". Du hast 2 Zustände (eben an/aus) und 8 Stellen (das sind die Lampen). Also 2 hoch 8, ergibt 256.

Das was du gemacht hast mit 8² = 64, wären 2 Lampen mit jeweils 8 Helligkeitsstufen...

Die Frage ist, wieviele Möglichkeiten der Beleuchtung gibt es. Das setzt aber voraus, das mindestens eine Lampe brennen muß (sonst ist's finster, folglich unbeleuchtet). Kombinationsmöglichkeiten gibt's wie gesagt 256, wobei eine eben finster ist. Folglich 255.

Grüße,
Zeph

Matrix316
2011-07-05, 15:46:14
1 Lampe 2 Möglichkeiten
2 Lampen 4 Möglichkeiten
3 Lampen 8 Möglichkeiten
4 Lampen 16 Möglichkeiten
5 Lampen 32 Möglichkeiten
6 Lampen 64
7 Lampen 128
8 Lampen 256
9 Bit 512 Zustände
10 Bit 1024 Zustände
11 Bit 2048 Zustände ;)
Minus halt dem wo keine leuchtet...

Sewing
2011-07-05, 17:46:56
kann mir einer sagen, warum ich hier nicht mit Permutationen arbeiten kann?

also n! ?

Permutationen sind doch die Anzahl der unterschiedlichen Anordnungen der Elemente, also in diesem Fall 8!

Warum wäre das falsch?

Trap
2011-07-05, 18:39:44
Die ganzen Fragen klären sich von selbst wenn man das Ergebnis für kleinere Zahlen vollständig hinschreibt statt blind irgendwelche Formeln anzuwenden.

Permutationen wär sowas: 43752816 -> kannst du damit beantworten welche Lampen leuchten?

Sewing
2011-07-05, 18:54:39
kannst du mit 255 beantworten welche Lampe leuchtet?

Marscel
2011-07-05, 21:54:21
Ich werf mal 37 in die Runde.

Aus n-Kombinationen von r, Multinomialkoeffizient:

6 Birnen: 8! / 6! * 2! = 28
7 Birnen: 8! / 7! * 1! = 8
8 Birnen: 1, offensichtlich

Also zu Aufgabe b).

Sewing
2011-07-05, 22:47:03
gibt es hier einen Stochastiker, der uns aufklären kann?

Pest vllt.?

pest
2011-07-05, 22:49:44
Permutationen sind doch die Anzahl der unterschiedlichen Anordnungen der Elemente, also in diesem Fall 8!

Warum wäre das falsch?

8! wäre die Anzahl bijektiver Abbildungen einer 8-elementigen Menge in eine Menge gleicher Ordnung.
Also wieviele Möglichkeiten es gibt 8 unterscheidbare Dinge anzuordnen.
Für das erste Element gibt es 8 Möglichkeiten, für das zweite 7, usw. Das ist aber offenbar nicht gefragt.

Der Mathematiker sagt dazu auch Mächtigkeit der symmetrische Gruppe (http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrische_Gruppe) der Ordnung 8.

2^8 wäre die Anzahl der Abbildungen einer 8 elementigen Menge in eine 2-elementige Menge.
Jedes Element (Taschenlampe) wird auf eines der beiden Elemente An/Aus abgebildet. Das heißt es gibt 2 Möglichkeiten für jedes Element.,d.h. 2*2*...*2 Möglichkeiten für n-Elemente.

Oder auch. Die Anzahl k-elementiger Teilmengen einer n-elementigen Menge ist (n über k)=n!/(k!*(n-k)!).
Die Anzahl aller k=0,..n, elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge (Mächtigkeit der Potenzmenge) ist demnach die Summe über (n über k) mit k=0,..,n und das ist 2^n.

Vergleich auch hierzu http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Ausdr.C3.BCcke_mit_Binomialkoeffizienten

edit: mit diesem Ansatz lässt sich natürlich auch b) leicht angeben, was wie schon geschrieben 37 ist.


8!/2!*6! wie ihn n!/(n-k)!*k! ...scheint aber falsch zu sein.


Dies wäre die Anzahl an Möglichkeiten 8 Dinge anzuordnen die in 2 Klassen vorliegen. Also z.B. die Anzahl der Wörter aus (6xA und 2xB).

Kombinatorik ist, Abbildungen zu finden :)


Die ganzen Fragen klären sich von selbst wenn man das Ergebnis für kleinere Zahlen vollständig hinschreibt statt blind irgendwelche Formeln anzuwenden.


m.M. nach schlechte Idee. Das was für 3,4 Beispiele funktionert, muss nicht für alle n-Zahlen funktionieren.

Trap
2011-07-05, 23:19:20
m.M. nach schlechte Idee. Das was für 3,4 Beispiele funktionert, muss nicht für alle n-Zahlen funktionieren.
Es geht vor allem darum überhaupt mal eine Lösung explizit aufzuschreiben. Schon damit könnte man viele der Vorschlage im Thread mit Sicherheit ausschließen, weil sie die falschen Strukturen erzeugen.

Eine Lösungsstrategie ist explizit hinschreiben natürlich nicht. Aber ich denke auch nicht, das die Probleme des Threadstarters mit der Lösungsstrategie zu tun haben.

pest
2011-07-05, 23:27:52
Das Problem des TS ist es, die typischen Kombinatorik-Fragestellungen noch nicht zu kennen :D

man könnte auch annehmen das die Taschenlampen nicht unterschiedbar sind (warum sollten sie auch :p)
dann gibt es bei a) 9 Möglichkeiten
und bei bei b) 3 Möglichkeiten

:D

Matrix316
2011-07-05, 23:35:25
kannst du mit 255 beantworten welche Lampe leuchtet?
Eigentlich alle 8, oder?

2^8 -1. Die erste Lampe ist 2^0, die zweite Lampe 2^1 bis 2^7...

pest
2011-07-05, 23:42:24
Eigentlich alle 8, oder?

2^8 -1. Die erste Lampe ist 2^0, die zweite Lampe 2^1 bis 2^7...

Mit "Bit" ist diese Aufgabe nur für Informatiker einleuchtender. Aber sie hilft zumindest bei der ersten Vorstellung solcher Probleme, versagt aber z.B. bei b)