Mathe-Frage: Kugelfläche / Teilfläche

[Gimmick]

Hallo,

ich hab eine Aufgabe hier und versteh nicht wo mein Fehler liegt, vielleicht kann mir da jemand helfen.

Also, berechnet werden soll die Fläche eines Teils der Erdoberfläche.
Und zwar zwischen 41°N bis 45°N und 104°3'W bis 111°2'60'' (was ja dann 111°3' sind).

Ich dachte mir:
Eine Kugel ist symmetrisch, also kann ich den Nullpunkt hinlegen wo ich will, also kommt es nur auf die Differenz der Breite und Länge an.
B = 4°
L=7°

Dann dachte ich mir integrier ich einfach darüber wie bei der Kugelgesamtfläche, nur eben statt bis pi und 2pi, bis 4° und 7°.

Also:
A=int[0 bis 4°] int[0 bis 7°] r^2 sin(theta) d-theta d-phi


r^2 hab ich raus gezogen, sin(theta) integriert ist -cos(theta).

Also quasi:

r^2*(4°)*(-cos(7°)+1), als r hab ich 6378,14km angenommen. Und die Grad halt in Bogenmaß umgerechnet. ^^



Da kommt aber irgendwie Blödsinn raus bei mir. ~22000km^2

Wo liegt mein Fehler? Hat jemand ne Idee? =/

Edit: Es müsste um die 250.000km^2 rauskommen

[Gimmick]

Hm, also mein Fehler war evtl, dass ich angenommen hab, dass es egal ist in welchem Bereich ich integriere.

Ist aber wohl nicht so, weil eine Fläche, die mit Winkeln beschrieben wird ja zu den Polen hin schmaler wird? ^^

[Saugbär]

Die Erde ist leider keine Kugel, sie ist an den Polen um ca 1% abgeplattet.
Eine Bogenminute entspricht entlang des Äquators einer Strecke von 1852 Metern. Daraus ist auch die Seemeile abgeleitet.

[Pinoccio]

Die Erde ist leider keine Kugel, sie ist an den Polen um ca 1% abgeplattet.
Eine Bogenminute entspricht entlang des Äquators einer Strecke von 1852 Metern. Daraus ist auch die Seemeile abgeleitet.Bei einem Fehler von Faktor 10 ist das sicher nicht das Problem. :rolleyes:
(Abgesehen davon beträgt die Abplattung nicht 1%, sondern 1/298,25 = 0,3% )

@Gimmick: Integrierst du garnicht über phi?

Alternativen bietet die einfache Geometrie auf dem Weg über den Kugelabschnitts (http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkalotte).

mfg

[kiX]

Also, berechnet werden soll die Fläche eines Teils der Erdoberfläche.
Und zwar zwischen 41°N bis 45°N und 104°3'W bis 111°2'60'' (was ja dann 111°3' sind).

Ich dachte mir:
Eine Kugel ist symmetrisch, also kann ich den Nullpunkt hinlegen wo ich will, also kommt es nur auf die Differenz der Breite und Länge an.
B = 4°
L=7°
Eine Kugel hat also mehrere Mittelpunkte? O_o Warum überhaupt diese Annahme? Ist ja nicht so, dass du dir dadurch groß etwas erleichterst (abgesehen davon, dass es falsch ist).
edit: Verstanden, du meintest den Ort phi,theta=0, der sich aufgrund der Kugelform überall befinden könne. Das stimmt zwar, jedoch bildet deine Fläche keinen "Ring" um den Kugelmittelpunkt, sondern um den "Kugelabschnittsmittelpunkt", welcher entsprechend verschoben auf der z-Achse (die Achse zwischen den Polen) liegt. Oder: Auf Höhe der Sahara ist ein Weg um die z-Achse länger als auf der Höhe von z.B. Oslo.

Dann dachte ich mir integrier ich einfach darüber wie bei der Kugelgesamtfläche, nur eben statt bis pi und 2pi, bis 4° und 7°.

Also:
A=int[0 bis 4°] int[0 bis 7°] r^2 sin(theta) d-theta d-phi
Versuch doch mal, die Oberflächenfunktion über die ursprünglichen Längen- und Breitengrade zu integrieren. Dann solltest du auf dein passendes Ergebnis kommen.


@Gimmick: Integrierst du garnicht über phi?
Tut er, von 0° bis 7° (s. fettgedrucktes quote).


Edit2: so, aus Langeweile mal computed:
http://i46.tinypic.com/29da3gl.png

[meru]

Ist aber wohl nicht so, weil eine Fläche, die mit Winkeln beschrieben wird ja zu den Polen hin schmaler wird? ^^

Genau! Das dürfte nur funktionieren wenn der Maßtensor ortsunabhängig ist, oder? Vielleicht kann einer der anwesenden Mathematiker hier was dazu sagen.

[Gimmick]

Eine Kugel hat also mehrere Mittelpunkte? O_o Warum überhaupt diese Annahme? Ist ja nicht so, dass du dir dadurch groß etwas erleichterst (abgesehen davon, dass es falsch ist).
edit: Verstanden, du meintest den Ort phi,theta=0, der sich aufgrund der Kugelform überall befinden könne. Das stimmt zwar, jedoch bildet deine Fläche keinen "Ring" um den Kugelmittelpunkt, sondern um den "Kugelabschnittsmittelpunkt", welcher entsprechend verschoben auf der z-Achse (die Achse zwischen den Polen) liegt. Oder: Auf Höhe der Sahara ist ein Weg um die z-Achse länger als auf der Höhe von z.B. Oslo.


Versuch doch mal, die Oberflächenfunktion über die ursprünglichen Längen- und Breitengrade zu integrieren. Dann solltest du auf dein passendes Ergebnis kommen.


Tut er, von 0° bis 7° (s. fettgedrucktes quote).


Edit2: so, aus Langeweile mal computed:
http://i46.tinypic.com/29da3gl.png

Thx für die Antworten

Ich hab das noch mal nachgerechnet und komme jetzt auf ca. 330 000 km^2.
In deiner Graphik hast du am Ende mal 4 genommen, das müsstest du glaub ich noch in Bogenmaß umrechnen ^^

Mein Ergebnis ist imo richtig auf Wiki steht allerdings als Größe etwas anderes.
Woher kommt denn da der Unterschied?

http://de.wikipedia.org/wiki/Wyoming

[kiX]

Ich hab das noch mal nachgerechnet und komme jetzt auf ca. 330 000 km^2.
In deiner Graphik hast du am Ende mal 4 genommen, das müsstest du glaub ich noch in Bogenmaß umrechnen ^^
Lol, stimmt. :freak: Das natürlich ein dummer Fehler, den ich ganz fröhlich auf die Uhrzeit schiebe (und darauf, dass ich da schon seit 07:30 für Biophysik lernte :D).
Und ein kurzes "in den Taschenrechner eingeb" bringt mich auch zu 330.000 km2

[Gimmick]

Lol, stimmt. :freak: Das natürlich ein dummer Fehler, den ich ganz fröhlich auf die Uhrzeit schiebe (und darauf, dass ich da schon seit 07:30 für Biophysik lernte :D).
Und ein kurzes "in den Taschenrechner eingeb" bringt mich auch zu 330.000 km2

Das Problem ist, dass das Ergebnis aber laut Wikipedia nicht stimmt :<

[Pinoccio]

Tut er, von 0° bis 7° (s. fettgedrucktes quote).Tat er nciht. Er hat zwar das Integral hingeschrieben, aber eben nicht komplett berechnet, den Integratiosnschritt über phi hat er ausgelassen. (Bei deiner Rechnung in der dritten Zeile steht er.)

Ich verweise nochmal auf den Weg über den Kugelabschnitt. Der liefert nämlich 253700 km² (http://www.wolframalpha.com/input/?i=%282*Pi*6378^2*%281-cos%2849%2F180*pi%29%29-2*Pi*6378^2*%281-cos%2845%2F180*pi%29%29%29%2F360*%28111.3-104.3%29)

mfg

[kiX]

Tat er nciht. Er hat zwar das Integral hingeschrieben, aber eben nicht komplett berechnet, den Integratiosnschritt über phi hat er ausgelassen. (Bei deiner Rechnung in der dritten Zeile steht er.)

Ich verweise nochmal auf den Weg über den Kugelabschnitt. Der liefert nämlich 253700 km² (http://www.wolframalpha.com/input/?i=%282*Pi*6378^2*%281-cos%2849%2F180*pi%29%29-2*Pi*6378^2*%281-cos%2845%2F180*pi%29%29%29%2F360*%28111.3-104.3%29)

mfg
Ich hab jetzt nur kurz rübergeschaut (und leider auch nicht mehr zeit), aber da fiel mir auf, dass ich phi und theta verwechselt habe. Entsprechend korrigiert komme ich auf
A= 5,81E-3 * r2 = 236.580 km2
Das stimmt leider nicht so gut wie dein Wert mit der Fläche von Wyoming lt Wikipedia (253.336 km²) überein. Aber auf den ersten Blick scheinst du von 45°N bis 49°N zu berechnen. Vll seh ich auch auf die Schnelle keinen Grund, weswegen du (90-phi) nimmst anstatt (phi). Naja, muss jetzt los :X

[Pinoccio]

Ich hab jetzt nur kurz rübergeschaut (und leider auch nicht mehr zeit), aber da fiel mir auf, dass ich phi und theta verwechselt habe. Entsprechend korrigiert komme ich auf
A= 5,81E-3 * r2 = 236.580 km2
Das stimmt leider nicht so gut wie dein Wert mit der Fläche von Wyoming lt Wikipedia (253.336 km²) überein. Aber auf den ersten Blick scheinst du von 45°N bis 49°N zu berechnen. Vll seh ich auch auf die Schnelle keinen Grund, weswegen du (90-phi) nimmst anstatt (phi). Naja, muss jetzt los :XJa, phi und theta waren vertauscht. (Hatte ich auch nicht gesehen.)

Und ich rechne mit 90°-phi, da der Breitengrad am Äquator anfängt zu zählen, während in die Formel der halbe Öffnungswinkel eingeht, was halt der Komplementärwinkel zum Breitengrad ist.

mfg

[kiX]

Ja, phi und theta waren vertauscht. (Hatte ich auch nicht gesehen.)

Und ich rechne mit 90°-phi, da der Breitengrad am Äquator anfängt zu zählen, während in die Formel der halbe Öffnungswinkel eingeht, was halt der Komplementärwinkel zum Breitengrad ist.

mfg
Achja, geht ja vom Pol aus. :redface:
Da sieht man mal, was rauskommt, wenn man seinen Kopf ständig woanders hat. :D

OT:
Der korrekt berechnete Wert (s.Pinoccio) stimmt sehr gut mit der Angabe von Wikipedia überein. :)