3D-Ebene - D

[Früchtemüsli]

Hi :)

So eine 3D-Ebene kann man doch beschreiben mittels: Ax + By + Cz + D = 0

Jetzt habe ich überlegt, was dieses D eigentlich ist.

Herausgekommen ist folgendes:

http://i39.tinypic.com/2mpk1s8.png

n ist der Normale-Vektor auf die Ebene (Einheits-Vektor).
Hier ist jede Ebene durch 3 Punkte definiert.
Man sieht die Ebene immer von der Seite.
(Die z-Achse geht immer nach vorne (also aus Bildschirm nach vorne raus).)

Stimmt das?

Man beachte auch meine schöne Handschrift :ugly:

[xxMuahdibxx]

Gegeben sei die Ebene E: ax + by + cz =d in der Koordinatengleichung. Dann gilt:

1. Die Ebene E geht genau durch den Koordinatenursprung, wenn d=0 ist.
2. Die Ebene E verläuft genau dann parallel zur x-Achse, wenn a=0 ist.
3. Die Ebene E verläuft genau dann parallel zur y-Achse, wenn b=0 ist.
4. Die Ebene E verläuft genau dann parallel zur z-Achse, wenn c=0 ist.


Aus nem anderen Forum ... nur mal so reinwerf ...

[Früchtemüsli]

Jo, das ist auch recht interessant, hat aber nichts mit meiner Frage zu tun, ob das mit den D-Werte bei mir so alles stimmt und auch die anfangs definierten Regeln immer stimmen :biggrin:

[Erdbeermayonnaise]

|D| ist der Abstand der Geraden vom Ursprung.

[Früchtemüsli]

OK, dann passt das ja.
Aber wie schauts mit den Vorzeichen von D aus?

[Erdbeermayonnaise]

OK, dann passt das ja.
Aber wie schauts mit den Vorzeichen von D aus?
Das hast du schon richtig erkannt.


Es ist einfach die Gleichung als n*x=d zu schreiben, wobei n, x Vektoren sind mit |n| = 1. Die Ebene besteht dann aus allen Punkte x, welche die Gleichung erfüllen. Setzt du für x den Punkt der Ebene mit geringstem Abstand zu 0 ein, so muss x parallel zu n sein, da er zwangsläufig orthogonal zur Ebene ist. Also ist |d|=|n*x|=|n|*|x|*|cos(Winkel(n,x))|=|x|*|+/-1|, also gerade der kürzeste Abstand eines Punktes der Ebene zu 0.

Das Vorzeichen ist die Orientierung der Ebene.

Wenn |n| nicht 1 ist, so ist |d|=|n|*Abstand der Ebene zu 0.

EDIT: Also es handelt sich bei dir nicht um eine Gerade im R^2, sondern um eine Ebene im R^3, aber das macht keinen Unterschied. Habe das noch mal angepasst :).

[Früchtemüsli]

Das Vorzeichen ist die Orientierung der Ebene.
Das hört sich interessant. Was genau meinst du damit?

[Erdbeermayonnaise]

Das hört sich interessant. Was genau meinst du damit?
Betrachte die Funktion f(x,y,z)=ax+by+cz-d. Dann ist die Menge der Nullstellen von f eine Ebene. Die Ebene teilt den Raum in zwei Teile. Auf einem dieser Teile ist f positiv, auf dem anderen negativ. So lässt sich also durch einsetzen von (x,y,z) in die Ebenengleichung und Betrachtung des Vorzeichens bestimmen, auf welcher Seite der Ebene der Punkt (x,y,z) liegt. Nur welche Seite ist jetzt die positive und welche die negative? Noch schlimmer: Verwendet man -f statt f, so erhält man als Nullstellenmenge tatsächlich dieselbe Ebene, aber + und - sind jetzt vertauscht. Daher macht es Sinn, von der Orientierung einer Ebene zu sprechen, welche eben ausdrückt, wo "vorne" und "hinten" der Ebene sind bzw. welche Seite die positive und welche die negative ist.
Die positive Seite ist die, in deren Richtung der Vektor (a,b,c) zeigt. Dies sieht man sofort durch Ableiten: grad(f)=(a,b,c), also steigt f genau in dieser Richtung, wird also positiv.
Kehrt man jetzt (a,b,c) in (-a,-b,-c) um, um also die Orientierung umzudrehen, so muss man, um dieselbe Ebene zu erhalten auch d in -d verwandeln. Das Vorzeichen von d wird also durch die Orientierung bestimmt.

[Früchtemüsli]

Damit willst du vermutlich sagen, dass ich den Ursprungspunkt (0/0/0) wie einen normalen Punkt betrachten soll.

Liegt er relativ zur Ebene "hinten", ist D negativ. Liegt er "vorne", ist D positiv.

Hast du das so gemeint? Das würde ja dann dem entsprechen, was ich mir anfangs überlegt hatte :)

[Erdbeermayonnaise]

Richtig. Schrieb ich ja schon in meiner zweiten Antwort. Ich habe nur noch versucht zu erklären, was ich mit Orientierung meine.

[Früchtemüsli]

Juhu. Kann ich bei diesem UNI-Video weitermachen, wo ich grad lerne.
Danke :)