Term einer Funktion per Hand finden.

[Geldmann3]

Ein Mathe-Thread Freitag Samstags um 3 Uhr Nachts^^ wann auch sonst... :rolleyes:

Hallo, ich habe folgende Kurve
http://geldmann3.no-ip.biz/Anonymous/Bilder/Funktion.png

Nun würde ich gerne die Funktionsgleichung dieser Funktion ermitteln.

Ich bin bisher so vorgegangen.
(-1/0) scheint eine Nullstelle zu sein, daher weiß ich f(-1)=0
(3/0) scheint ebenfalls eine Nullstelle zu sein, daher f(3)=0
Nun ist die Steigung bei (-1/0) scheinbar 0 also f'(-1)=0
Und dann weiß ich noch, dass der Graph (0/1) schneidet, daher also f(0)=1

Ich habe nun also
f(-1)=0 ; f(3)=0 ; f'(-1)=0 ; f(0)=1

Ich habe gehört, dass immer wenn es 4 solche "Hinweise" gibt es sich um eine Gleichung 3.ten Grades mit der Form ax³+bx²+cx+d handeln soll.

Jetzt kann ich ja eigentlich aufgrund meiner vorhandenen Informationen Gleichungen/Gleichungssysteme erstellen und so versuchen den Variablen auf die Spur zu kommen.
f(-1)= 0 = a*(-1)³+b*(-1)²+c*(-1)+d
f(-1)= 0 = -a+b-c+d

f(3) = 0 = a*3³+b*3²+c*3+d
f(3) = 0 = 27a+9b+3c+d

f(0) = 1 = a*0³+b*0²+c*0+d
f(0) = 1 = d

Jetzt die abgeleitete, mit abgeleiteter Form.

f'(-1) = 0 = 3a*(-1)²+2b*(-1)+c
f'(-1) = 0 = 3a+(-2b)+c
f'(-1) = 0 = 3a-2b+c


Stimmt das so weit grob?

So, um die anderen Variablen herauszufinden, kann ich jetzt ja eigentlich nur noch Gleichungssysteme verwenden. Schon lange her, dass ich sowas gemacht habe. Irgendwie komme ich an dieser Stelle nicht weiter. Könnt ihr mir erklären, mit welcher Taktik ihr so ein Gleichungssystem löst? Springt irgendwas ins Auge? Klar, mit dem Taschenrechner könnte ich das auch. Habe versucht alles munter miteinander zu addieren oder zu subtrahieren, aber irgendwie komme ich so nicht auf einen grünen Zweig.

Danke

[EPIC_FAIL]

Für ein Polynom vom Grad n braucht du genau n+1 "Stützstellen" um die Gleichung zu rekonstruieren. Als Alternative zum Gleichungssystem (was sich häufig einfacher mit dem guten alten Gauß lösen lässt) kannst du auch die Interpolationsformel von LaGrange verwenden.

[Geldmann3]

Sorry, diese Begriffe überfordern mich. ;D

Die "Hinweise" nennen sich also "Stützstellen", aha.
Ich habe ja 4 Stützstellen, also ein Polynom 3ten Grades.

[Plutos]

(I) f(-1)= 0 = -a+b-c+d
(II) f(3) = 0 = 27a+9b+3c+d
(III) f(0) = 1 = d
(IV) f'(-1) = 0 = 3a-2b+c

zusammengefasst

Aus (I) und (III) ergibt sich (I') a=b-c+1
(I') eingesetzt in (II) ergibt (II') 0=27(b-c+1)+9b+3c+1
(I') eingesetzt in (IV) ergibt (IV') 0=3(b-c+1)-2b+c
Nun (IV') aufgelöst nach o.b.d.A. Variable b ergibt (IV'') b=2c-3

Sodann (IV'') eingesetzt in (II') ergibt eine Gleichung, in der nur noch c vorkommt. Mit der so erhaltenen Lösung für c löst man (IV'') für b und dann (I') für a und hat alle vier Unbekannten. Dein bisheriger Weg ist soweit richtig, der Rest ist nur noch "Arbeit". Zur Übung kannst du noch den "anderen" Weg gehen, (IV') nach c (nicht nach b) auflösen und von da weitermachen, rauskommen wird natürlich das selbe.

[Geldmann3]

Danke. Verstehe!

Ja das ist eine gute Übung, werd' die Aufgabe noch ein paar mal rechnen.

Doch jetzt kann ich erst mal beruhigt schlafen :rolleyes:

[kasir]

Du gehst davon aus, dass es sich um ein Polynom 3. Grades handelt, das kann schon einmal nicht sein, da es nur 2 Nullstellen gibt. Ich denke es handelt sich um eine gebrochen-rationale Funktion oder ein Polynom 4. Grades mit zwei Nullstellen im komplexen.

[Geldmann3]

Ist es nicht so, dass ein Polynom n ten Grades maximal n Nullstellen hat, es können aber auch weniger sein? Sieh dir den Graph an, wenn man ihn nach unten verschiebt, bekommt er n=3 Nullstellen.

[Plutos]

Du gehst davon aus, dass es sich um ein Polynom 3. Grades handelt, das kann schon einmal nicht sein, da es nur 2 Nullstellen gibt.

http://abload.de/img/tumblr_msi9g0spit1swqcnb4i.jpg (http://abload.de/image.php?img=tumblr_msi9g0spit1swqcnb4i.jpg)

[Geldmann3]

HAHAHAHAHA, dieses Bild ist so gut.;D

[kasir]

Ist es nicht so, dass ein Polynom n ten Grades maximal n Nullstellen hat, es können aber auch weniger sein? Sieh dir den Graph an, wenn man ihn nach unten verschiebt, bekommt er n Nullstellen.

Du kannst jedes Polynom n-ter Ordnung in n Linearfaktoren zerlegen, z.B. ein Polynom 2. Grades y=ax^+bx+c zu y=(x-u)(x-v) wobei u,v die Nullstellen des Polynoms sind.

[...]es können aber auch weniger sein?

Nein! Jedes Polynom n-ter Ordnung hat GENAU n Nullstellen. Wenn du z.B. bei einem Polynom 2. Ordnung keine Nullstellen findest (p-q-/Mitternachtsformel, whatever), liegt das daran, dass du nur reelle Zahlen betrachtest, du aber zwingend komplexe Zahlen (z=a+ib, wobei i die imaginäre Einheit ist) brauchst. Wenn die Nullstellen im komplexen liegen, dann treten diese immer komplex konjugiert auf (d.h. man findest immer 2*n komplexe Nullstellen, wobei n=0,1,2,..).

[Plutos]

Ist es nicht relativ trivial, dass die Nullstellen hier -1, -1 und 3 sind? Insofern kann man im Sinne des TS IMHO genausogut von zwei Nullstellen sprechen.

[Geldmann3]

Ok, Ok mit komplexen Zahlen habe ich jetzt nicht gerechnet, das war nicht mehr in meinem Quarterabitur enthalten.

[kasir]

Ist es nicht relativ trivial, dass die Nullstellen hier -1, -1 und 3 sind? Insofern kann man im Sinne des TS IMHO genausogut von zwei Nullstellen sprechen.

Ähm, nope.

Edit: Mir war bis gerade eben gar nicht bekannt, dass die Berührung der Funktion mit x-Achse eine doppelte NST impliziert.

Ich biete folgende Funktion an: f(x)=-(1/3)x^3+(1/3)x^2+(5/3)x+1

Ansatz mit Linearfaktoren: f(x)=a(x+1)(x+1)(x-3), dabei wird a so gewählt, dass man als Koeffizienten von x^0 die +1 erhält.