Matherätsel: 2 Gleichungen und 3 Unbekannte

[Loeschzwerg]

Kleines Rätsel für euch :smile:

Du sollst 100 Flaschen Getränke einkaufen und dafür genau 100 Euro ausgegeben. Von jeder Sorte muss mindestens eine Flasche dabei sein.

Preise:
Bier 0,50 Euro
Wein 3,00 Euro
Schnaps 10,00 Euro

Auf die Lösung bin ich selber nur durch probieren gekommen. Daher noch eine weitere Frage, wie kann ich diese Rechnung mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten auflösen?

[Undertaker]

Die dritte Bedingung ist doch einfach, dass die Anzahlen aller drei Flaschenarten eine natürliche Zahl sein müssen (sonst gibt es beliebig viele Lösungen).

[pest]

nach umstellen (x=Bier,y=Wein,z=Schnapps)

x=100-y-z
y=20-3,8z

da y eine nat. Zahl sein muss, muss 3,8z eine natürliche Zahl sein => z aus {5,10,15...}

10 wäre schon zuviel, da ich dann nix anderes kaufen kann oder dem Betrieb Wein schenken muss :D
also z=5 und damit y=1,x=94

[Plutos]

...

[Käsetoast]

Gibt's da eigentlich eine Möglichkeit sich eine dritte Gleichung für ein LGS zu basteln?

Spontan versucht habe ich:

0,5a + 3b + 10c = 100
a + b + c = 100
0,5a + 3b + 10c = a + b + c

Die dritte Gleichung beißt sich aber natürlich in den Schwanz...

[Mosher]

Wenn du (III) aus (II) und (I) bildest, hast du keine neue Information,

Von daher bringt dir das nix, wie du ja schon erkannt hast.

[Flyinglosi]

Mathematisch wird hier die Lösung nur durch die Einschränkung der Lösungsmenge eindeutig. Mit einer weiteren (linearen) Gleichung lässt sich dies nicht beschreiben.

[NiCoSt]

ich versteh das problem nicht.
einfach eine flasche schnaps, eine flasche wein und für den rest bier kaufen, bis die 100€ aufgebraucht sind, dann hat mans doch?!

E: sorry, jetzt erst richtig gelesen XD anzahl soll 100 sein... ok...

[BeetleatWar1977]

Gibt's da eigentlich eine Möglichkeit sich eine dritte Gleichung für ein LGS zu basteln?

Spontan versucht habe ich:

0,5a + 3b + 10c = 100
a + b + c = 100
0,5a + 3b + 10c = a + b + c

Die dritte Gleichung beißt sich aber natürlich in den Schwanz...
Na was denn?


0,5a + 3b + 10c = 100

0,5a = 100 - 3b - 10c

100 - 3b - 10c + 3b + 10c = 100

100=100 //ist doch klar^^



ne jetzt mal ernsthaft:
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/klasse9pdf/GleichungssytemedreiVariablen.pdf

[Käsetoast]

Nur nochmal der Klarheit halber: Mir ist schon klar, dass die dritte Gleichung nicht zielführend ist - das hatte ich ja auch selber geschrieben. Spontan klingt es aber doch ganz gut eine Bedingung zu formulieren die sagt, dass die Anzahl der Gesamtgeldmenge gleich der Anzahl der Flaschen sein muss. Dass das im gegebenen System zu linear abhängigen Gleichungen führt kann man zwar direkt sehen, muss man aber nicht. Vielleicht hantiere ich hier auch schon zulange mit der Navier-Stokes-Gleichung & Co und habe jetzt mehr ein Auge dafür wie ich die richtige Lösung numerisch nähern könnte als bei einer analytischen Lösung den Durchblick zu haben... :D

[Loeschzwerg]

Die dritte Bedingung ist doch einfach, dass die Anzahlen aller drei Flaschenarten eine natürliche Zahl sein müssen (sonst gibt es beliebig viele Lösungen).

Der erste Post war gleich der hilfreichste :D

Klar, natürlich Zahlen erzeugen und dann mit der Gaußschen Gleichung (oder Eliminationsverfahren) eine Variable eliminieren.

0,5a + 3b + 10c = 100
=> a + 6b+ 20c = 200

Abzüglich der zweiten Gleichung hat man dann...

5b + 19c = 100

...und so ist es relativ einfach zum Ergebnis (immer eine neutrale Zahl) zu kommen.

@Beetle: Danke für den Link, da ists auch noch mal schön dargestellt :)

[Pinoccio]

Das Stichwort heißt diophantische Gleichung, benannt nach dem antiken Mathematiker Diophantos von Alexandria, der um 250 vuZ lebte. (Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Diophantische_Gleichung)) Ist also ein sehr altes Problem.
Die Idee, hier mittels Gaußalgorithmus (der ähnlich alt oder älter ist wie die diophantischen Gleichungen, siehe z. B.Grcar (http://arxiv.org/abs/0907.2397)) das System zu vereinfachen (im Normalfall auf x1=a, x2=b usw.) ist schonmal gut. Der weitere Weg ist dann Zahlentheoretischer Natur - siehe wieder Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Diophantische_Gleichung) - und man erhält das Ergebnis (d.h. ein oder mehrer Ergebnisse).

mfg