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Archiv verlassen und diese Seite im Standarddesign anzeigen : Mathematik Wahrscheinlichkeit


ceed
2016-08-15, 16:12:16
Ich stehe gerade auf dem Schlauch und kann diesem Artikel
http://www.spektrum.de/raetsel/connys-wuerfelbude/1336359
nicht folgen.

Bei 216 Fällen nimmt er 216€ ein. Der Würfel fällt also insgesamt 648 (216*3) mal. Davon ist jeder 6 Wurf 2€ wert. Komme ich schon auf 216€ (648/6 *2) Ausgaben + die Doppelt und Dreifachwürfe macht der Junge doch Miese? :confused:

Paran
2016-08-15, 16:28:59
Wieso sollte es 216 mal einen Euro Gewinn geben?
216 unterschiedliche Tripel gibt es, wovon jedes eine gleiche Wahrscheinlichkeit hat.

ceed
2016-08-15, 16:32:56
Wieso sollte es 216 mal einen Euro Gewinn geben?
216 unterschiedliche Tripel gibt es, wovon jedes eine gleiche Wahrscheinlichkeit hat.

Betrachte mal bitte die Einzelwürfe.. das sind 648. Davon ist doch jeder 6te Wurf die Zahl?

Paran
2016-08-15, 16:45:44
Wenn 648 mal geworfen wird sind davon:
- 648*125/216 verdiente Euros
- 648*75/216 zu zahlende 2 Euro
- 648*15/216 zu zahlende 3 Euro
- 648*1/216 zu zahlende 5 Euro

ceed
2016-08-15, 16:50:23
Wenn 648 mal geworfen wird sind davon:
- 648*125/216 verdiente Euros
- 648*75/216 zu zahlende 2 Euro
- 648*15/216 zu zahlende 3 Euro
- 648*1/216 zu zahlende 5 Euro

Okay ich frag mal ganz doof: Wenn ich 648 mal werfe wie oft fällt dann die 1 ?

Reaping_Ant
2016-08-15, 17:07:45
Der Trick ist, dass es für zwei oder drei mal hintereinander die selbe Zahl weniger Geld gibt als für zwei oder drei einzelne Treffer.

Der_Korken
2016-08-15, 17:07:57
Nehmen wir mal zur Vereinfachung an, dass alle Spieler immer auf die 1 setzen. Die Wahrscheinlich, dass bei drei Würfen keine 1 kommt, ist nicht 1/2, sondern (5/6)^3 = 0,5788. 5/6 ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Wurf keine 1 kommt und die W'keit, dass das drei mal hintereinander passiert ist dann (5/6)^3.

Allgemein kann man die Wahrscheinlichkeit, dass genau x-mal eine 1 kommt, kann man mit der Binomialverteilung (https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung) ausrechnen. Also rechnest du die Wahrscheinlichkeit für 0-mal, 1-mal, 2-mal und 3-mal 1 aus und multiplizierst das mit dem jeweiligen Verlust. Anschließend alles addieren und du hast den erwarteten Verlust pro Spiel.

Edit:

Okay ich frag mal ganz doof: Wenn ich 648 mal werfe wie oft fällt dann die 1 ?

Wenn du 648 mal unabhängig voneinander wirfst, dann kommt im Erwatungswert 108 mal die 1. Kann aber abhängig vom "Pech" auch mehr oder weniger sein. Du kannst aber die 648 Würde nicht alle unabhängig voneinander betrachten, weil immer drei Würfe zusammengehören.

ceed
2016-08-15, 17:17:48
Der Trick ist, dass es für zwei oder drei mal hintereinander die selbe Zahl weniger Geld gibt als für zwei oder drei einzelne Treffer.

Ah jetzt macht es für mich Sinn. Alles klar :-) Danke

Käsetoast
2016-08-15, 18:05:54
Also das hat mich jetzt gewurmt - ich versage bei sowas aber gerne. Spontan wäre ich das so angegangen:

Man betrachtet nur wann Geld ausgezahlt werden muss:

Fall 1: Der erste Würfel ist die gesuchte Zahl, die anderen beiden nicht
Fall 2: Der zweite Würfel ist die Zahl, die anderen beiden nicht
Fall 3: Der dritte Würfel ist die Zahl, die anderen beiden nicht
Fall 4: Die ersten beiden sind die Zahl, die letzte nicht
Fall 5: Die letzten beiden Würfel sind die Zahl, der erste nicht
Fall 6: Erster und dritter Würfel sind die Zahl, der zweite nicht
Fall 7: Alle Würfel sind die Zahl


Fall 1:
Getroffen -> nicht getroffen -> nicht getroffen
1/6 * 5/6 * 5/6
2 € auszahlen

Fall 2:
Nicht getroffen -> getroffen -> nicht getroffen
5/6 * 1/6 * 5/6
2 € auszahlen

Fall 3:
Nicht getroffen -> nicht getroffen -> getroffen
5/6 * 5/6 * 1/6
2 € auszahlen

Fall 4:
Getroffen -> getroffen -> nicht getroffen
1/6 * 1/6 * 5/6
3 € auszahlen

Fall 5:
nicht getroffen -> getroffen -> getroffen
5/6 * 1/6 * 1/6
3 € auszahlen

Fall 6:
getroffen -> nicht getroffen -> getroffen
5/6 * 1/6 * 1/6
3 € auszahlen

Fall 7:
alle getroffen
1/6 * 1/6 * 1/6
5 € auszahlen

Ausrechnen für den Fall, dass 216 Mal jemand drei Würfel würfelt:
Fall 1:
216 * (25/216) = 25 Fälle, dass das passiert

Fall 2 & 3 sind ja genau so, also haben wir 25 * 3 = 75 Fälle.
Jeder dieser Fälle kostet den Veranstalter 2 €, also macht das 75 * 2 = 150 € Kosten

Fall 4:
216 * (5/216) = 5 Fälle in denen das passiert

Fall 5 und 6 sind erneut dasselbe in grün. Es gibt also 3*5 = 15 dieser Fälle.
Jeder dieser Fälle kostet den Veranstalter 3 €, also macht das 15 *3 = 45 € Kosten

Fall 7:
216 * (1/216) = 1 Fall in dem das passiert. Dieser Fall kostet den Veranstalter 5 € Kosten.


Summa summarum:
Die Gesamtkosten belaufen sich auf 150+45+5 = 200 €

Jetzt müsst man nur noch die erwirtschafteten 216 € zeigen, aber das darf (vorausgesetzt ich habe hier nicht Quatsch verzapft) jemand anders machen... :wink:

Der_Korken
2016-08-15, 19:26:51
Jetzt müsst man nur noch die erwirtschafteten 216 € zeigen, aber das darf (vorausgesetzt ich habe hier nicht Quatsch verzapft) jemand anders machen... :wink:

Paran hat es quasi schon gezeigt. In 125 von 216 Fällen nimmt man 1€ ein, also insgesamt 125€ Einnahmen. Das ganze steht 200€ Verlust gegenüber. Also macht man in 216 Spielen 75€ Verlust, das sind ca. 33 Cent pro Spiel.

Reaping_Ant
2016-08-16, 04:18:12
Paran hat es quasi schon gezeigt. In 125 von 216 Fällen nimmt man 1€ ein, also insgesamt 125€ Einnahmen. Das ganze steht 200€ Verlust gegenüber. Also macht man in 216 Spielen 75€ Verlust, das sind ca. 33 Cent pro Spiel.

Nein, das stimmt so nicht. Du nimmst 216 EUR ein und bezahlst im Schnitt 200 EUR aus, also 16 EUR Gewinn. Wenn Du 2 EUR auszahlst, hast Du ja trotzdem vorher schon 1 EUR eingenommen.

Explizit: 125*1 + 75*(-1) + 15*(-2) + 1*(-4)

Der_Korken
2016-08-16, 09:12:30
Nein, das stimmt so nicht. Du nimmst 216 EUR ein und bezahlst im Schnitt 200 EUR aus, also 16 EUR Gewinn. Wenn Du 2 EUR auszahlst, hast Du ja trotzdem vorher schon 1 EUR eingenommen.

Explizit: 125*1 + 75*(-1) + 15*(-2) + 1*(-4)

Hast Recht. Ich habe gedacht, dass bei den auszuzahlenden Beträgen schon due Einnahmen verrechnet wurden (also bei den 75*2, 15*3, usw.)