Mathematikfrage: Trigonometrie

[Kennung Eins]

...ich denke zumindest, daß es ein Trigonometrisches Problem ist :)

jedenfalls sieht's so aus:

http://home.arcor.de/iotha/temp/viereck3.gif

Ich nehme ein Viereck (oben links), von dem sind alle Eckpunkte bekannt.
Nun drehe ich es um seinen Mittelpunkt (d.h. die Koordinaten des Mittelpunkts bleiben gleich) um den Winkel Alpha. (oben rechts)
Wie kriege ich nun die Koordinaten der Eckpunkte raus?

Ich würde nicht fragen, wenn ich da nicht schon sehr lange (fast 2 wochen) dran rum krepeln würde... und dabei war ich früher bei solchen Sachen in der Schule garnicht so schlecht :(

*peinlich*

Kann mir jemand dabei helfen, bitte?

[auki]

so müsste es gehen:

du legst dir geeigneter weise den mittelpkt des quadrates in den koordinaten ursprung.
der Punkt A hat dann den Ortsvektor: (x von A /y von A) ->als Vektor
Der Winkel (w) ist gegeben.
das ist auch der winkel, zwischen den beiden diagonalen von A und A' durch den Mittelpkt.
Mit der gleichung
Va skalar multipliziert mit Va' = Betrag Va * Betrag Va' * cos(w)
Va => vektor a
da Va = Va':
Va skalar Va' = (Betrag Va)^2 * cos(w)

nach Va' umstellen und da der Mittelpkt im KO - Ursprung liegt sind das auch gleichzeitig die Koordinaten.


----

wenn du wissen willst, wie das geht, wenn der Mittelpkt nicht im KO-Ursprung liegt musst sagen. Kann ich dir bei Bedarf auch erklären.


=> ich hoffe das hilft dir weiter und es ist richtig!

[Kennung Eins]

Danke! Das sieht echt nicht schlecht aus...
habs mir grad mal aufgemalt, ich werd das mal durchrechnen und meld mich nachher nochmal!

[Kennung Eins]

Wie war das doch gleich mit Skalaren?

Wenn ich Va skalar Va' nehme, kann ich dann durch Va teilen?

Dann wäre rechts das Quadrat ja weg...

[Braincatcher]

Hab' mal ne Frage...leider verstehe ich davon rein garnichts.In welcher Klasse kommt das vor?

[Crazy Aimer]

das mit den vektoren kommt in der sekundarstufe 2 dran in.. "Analytische Geometrie"

[HiddenGhost]

kommt in 12.2 dran... machen wa grad in Mathe... aber so weit haben wir das Thema bei weitem noch nicht durchgesprochen...

[auki]

Originally posted by Kennung Eins
Wie war das doch gleich mit Skalaren?

Wenn ich Va skalar Va' nehme, kann ich dann durch Va teilen?

Dann wäre rechts das Quadrat ja weg...

Va skalar Va' = (x von a)*(x von a') + (y von a)*(y von a')

somit erhällst du eine Zahl (skalar) und kein vektor.
wenn du beiden beträge ausrechnest (von Va und Va') ergibt sich ja (Betrag von Va)^2
d.h.: (x von a)^2 + (y von a)^2 => daraus die wurzel (das wäre formal der Bertrag) - da du aber sowieso das Quadrat vom Betrag brauchst, kannst du dir die wurzel gleich schenken. :)

BTW: bei uns (Meck/Vorp) kam das in 13.1
12.1: Analysis I (differenzieren)
12.2: Analysis II (integrieren)
13.3: lineare Algebra und analytische Gemoetrie
13.4: (z.Z.): Stochastik


----------
EDIT: WICHTIG!
deine gleichung hat einen Fehler
auf der linken Seite, dürfen nicht die Beträge stehen, sonder die normalen Vektoren skalar mutipliziert

[Frank]

Originally posted by Kennung Eins
...ich denke zumindest, daß es ein Trigonometrisches Problem ist :)

jedenfalls sieht's so aus:

http://home.arcor.de/iotha/temp/viereck3.gif

Ich nehme ein Viereck (oben links), von dem sind alle Eckpunkte bekannt.
Nun drehe ich es um seinen Mittelpunkt (d.h. die Koordinaten des Mittelpunkts bleiben gleich) um den Winkel Alpha. (oben rechts)
Wie kriege ich nun die Koordinaten der Eckpunkte raus?

Ich würde nicht fragen, wenn ich da nicht schon sehr lange (fast 2 wochen) dran rum krepeln würde... und dabei war ich früher bei solchen Sachen in der Schule garnicht so schlecht :(

*peinlich*

Kann mir jemand dabei helfen, bitte?
Also du hast 2 Betrachtungs-Möglichkeiten (auch mehr):

1.
Du willst alles schön im Vektorraum rechnen: Die Abbildung die du in deinen Skizzen ausführst, würde sich durch eine Transformationmatrox darstellen lasssen. (Drehmatrix hier wohl). Damit multiplizierst du einfach deinen OrtsVektor und damit Fini.

2.
Du wendest die Trigonomtrie direkt an: Stell dir einfach die Ecke des Vierecks auf den (Einheits)kreis vor und schon kannst du mit sinus und cosinus die x und y Seitenlänge beschreiben.
Kommt letztendlich aber aufs selbe hinaus. Formel? folgen dann...

[Kennung Eins]

wir hattens eigentlich grad vor nem halben jahr zum teil erst wieder. (Uni, Ingenieurinformatik, in Mathematik dran im 2. Semester)

[HiddenGhost]

Was genau meint 'skalar' ??? Vieleicht hilft mir das ja noch mal weiter ;)

[auki]

Originally posted by HiddenGhost
Was genau meint 'skalar' ??? Vieleicht hilft mir das ja noch mal weiter ;)

vektoren kann man auf 2 verschiedenen wegen mutliplizieren:
Vektorprodukt: a x b
Skalarprodukt: a * b

Im Tafelwerk findest du die regeln dazu

wäre zuviel mühe sie hier darzulegen, da es sich schlecht darstellen lässt!

[Kennung Eins]

Habs grad mal am Einheitskreis trigonometrisch gemacht.
Das ist jetzt nicht wirklich so einfach, daß da rauskommt

y = r * sin w
x = r * cos w

oder ???

Wenn doch, dann ... beiss ich mir in den Hintern. Denn das war das, was ich zu Anfang (vor zwei wochen) gemacht habe :bonk:

[Crazy Aimer]

also.. öhm.. die sache mit dem skalarprodukt rockt schon und die sache mit dem einheitskreis auch ... ich hab mir mal spaßeshalber noch überlegt, wie man die seitenlängen des dreiecks MAA' berechnen kann... hilft zwar nix, aber was solls.. :P *hihi*

vielleicht braucht mans ja mal... aber alle angaben ohne gewähr! :D

[Crazy Aimer]

oops ... öhm bei der formel für |A->A'| brauch man natürlich nicht |O->A| sondern |M->A| :D

[Frank]

Was genau meint 'skalar', Vieleicht hilft mir das ja noch mal weiter

Entweder hast du deine Frage falsch gestellt und auki dich schon so halbwegs verstanden aber nicht ganz genau geantwortet, oder aber ... naja.
Skalar ist eine Körperelement - kein Element eines Vektorraumes (der auf den Körper basiert) - Und damit schon gar nicht eines euklidischen VRs. (ok - für alle: Skalar is Element von R - aber nicht R^3 zb). Das Skalarprodukt ist wieder was ganz anderes - aber in meinen Augen nur eine Bilinearform. Das euklidische Standardskalarprodukt wie es ein Abiturient kennt, ist nur ein Spezialfall vom Spezialfall und für ziemlich viele Sachen im (euklid) Vektorraum recht brauchbar. Definition siehe auki: Tafelwerk.

Aber nun zum eigentlichen Problem. Ich zeige einfach mal den formalisierten Weg:
http://rcswww.urz.tu-dresden.de/~fh468638/temp/dm1.gif
http://rcswww.urz.tu-dresden.de/~fh468638/temp/dm2.gif
Und zur Veranschaulichung wie man zu der Drehmatrix kommt (aber nur für die x Koordinate - Rest analog):
http://rcswww.urz.tu-dresden.de/~fh468638/temp/dm3.gif
http://rcswww.urz.tu-dresden.de/~fh468638/temp/dm4.gif
Wenn du das für 3-dimensional brauchst (mit Drehachse... etc) - dann kurze PM oder Nachfrage. (Die Transformation, dass der Drehpunkt auch Mittelpunkt ist, dürfte ja klar sein.)

[auki]

imho heißt der begriff "skalar" an sich nur "zahl" ->im gegensatz zum vektor.
wir haben gelernt, dass das skalarprodk. so heisst, weil ein skalar raus kommt (verbessert mich bitte)

hidden ghost meinte imho der skalarprodk., da ich schrieb Va skalar Va'
und da halt nur skalar steht/stand, somit wollte er wissen, was das bedeutet.

@was studierst du, um diese feinheiten mit euklidschen VR zu wissn??

[Frank]

ja so etwa ...
:)

ps.
studieren? ich? Mathe - im 7./8. sem.

[Crazy Aimer]

alda sry frank aber ich versteh da bei deiner definition kaum was. :) ... iss ja nich so wichtig.. aber wenn schonmal so ein mathematikstudent ansprechbar ist :D ... Könnte meine Gleichung stimmen?

[Frank]

Originally posted by Crazy Aimer
alda sry frank aber ich versteh da bei deiner definition kaum was. :) ... iss ja nich so wichtig.. aber wenn schonmal so ein mathematikstudent ansprechbar ist :D ... Könnte meine Gleichung stimmen?
*hüstel*
dürfte schon stimmen - aber nur für die Zahlen (radius =1 ...)

Schau dir mal den Cosinussatz im Tafelwerk an und schreib den um auf ein Gleichseitiges Dreieck - dann bekommt man ja fast das was du da stehen hast - aber nur fast.

[Crazy Aimer]

ich hab da schon den kusinussatz angewendet. dadurch, dass es sicht egal welcher winkel angegeben wird um ein gleichschenkliges dreieck handel, sind die zwei seiten, die den winkel einschließen bekannt, nämlcih der betrag von vektor M->A... das hab ich dann einfach umgeformt.

[Aragon]

Meine Lösung:

[Aragon]

Teil 2

[Aragon]

Korrektur siehe unten

[Aragon]

Korrektur siehe unten

[Kennung Eins]

:O

WOW. Da hast du dir aber viel Mühe gemacht!!!
Das sieht echt gut aus, habs grad alles mal durchprobiert, supi! :)

Danke!

das wär doch nicht nötig gewesen *schäm* :)

[Nasenbaer]

Originally posted by auki
BTW: bei uns (Meck/Vorp) kam das in 13.1
12.1: Analysis I (differenzieren)
12.2: Analysis II (integrieren)
13.3: lineare Algebra und analytische Gemoetrie
13.4: (z.Z.): Stochastik


Hmm Stochastik werde ich nie auf Sekundarstufen-Niveau haben. :(
Komm auch aus M/V aber die Gymnasien mit fachlicher Ausrichtung haben erst nächstes Jahr die gleichen Lehrpläne wie die "normalen" Gymnasien.
Dennoch müssen wir schon jetzt die gleiche Prüfung schreiben. :|

Mfg Nasenbaer

[Frank]

Aragon - Meine Lösung: Eine einfache Matrixmultiplikation für Drehung und Vektoraddition für Transformation ist imho aber etwas simpler zu realisieren und nicht vom Spezialfall abhängig.

[Aragon]

Sorry, da hat sich ein Fehler eingeschlichen.
Statt 235° muß es 225° (180° + 45°) heißen.
Siehe auch gelbmarkierte Stelle im Posting.

[Aragon]

Originally posted by Frank
Eine einfache Matrixmultiplikation für Drehung und Vektoraddition für Transformation ist imho aber etwas simpler zu realisieren und nicht vom Spezialfall abhängig.
Hast ja recht, deine Lösung mit Hilfe der Drehmatrix ist eleganter.
Dann das ganze halt nochmal.

Den Schwerpunkt Po des Quadrats setze ich jetzt als gegeben an mit:

P0 = P4 + 0,5 * P4P2

im Beispiel P0 = (4 5)

[Aragon]

weiter

[Aragon]

Beispiel

[Aragon]

Letzter Versuch

[Aragon]

Originally posted by Frank
Eine einfache Matrixmultiplikation für Drehung und Vektoraddition für Transformation ist imho aber etwas simpler zu realisieren und nicht vom Spezialfall abhängig.

Ist der Herr Mathematikus jetzt zufrieden ?

mfG
Helmut

[Frank]

Originally posted by Aragon


Ist der Herr Mathematikus jetzt zufrieden ?

mfG
Helmut
Hauptsache Kennung Eins ist zufrieden.

[Aragon]

korrigiert, 225°

[Aragon]

korrigiert

[Kennung Eins]

Originally posted by Frank

Hauptsache Kennung Eins ist zufrieden. Ich bin schon lange zufrieden :)

Das was ihr hier macht ist mehr, als ich mir erträumt hab :) naja, nicht ganz so, aber so ungefähr :)
Macht euch nicht so viel Mühe diesbezüglich, ich hab das Problem inzwischen -dank eurer Hilfe- erfolgreich in meinem Programm implementiert :)

[Aragon]

Was programmierst du den feines ? Ich tipp mal, daß es etwas mit FSAA zu tun hat (gedrehtes Abtastraster ...).

mfG
Helmut

[Kennung Eins]

Originally posted by Aragon
Was programmierst du den feines ? Ich tipp mal, daß es etwas mit FSAA zu tun hat (gedrehtes Abtastraster ...).

mfG
Helmut Exakt :)

Es geht um ein Demonstrationsprogramm in Java (ist leider gefordert, daß es in Java geschrieben wird), welches gewichtetes und ungewichtetes AA visualisiert.

Es ist bis jetzt noch nicht wirklich der Brüller, ich bin momentan erst dabei die AA Algos zu implementieren, wobei der gewichtete noch nicht funktioniert.