aths
2026-02-25, 20:34:09
Bin heute 49 geworden. 7². Was für eine Zahl.
Will man eine schon große Zahl vergrößern, nimmt man sie einfach zum Quadrat. 49² ist 2401, länger als unsere Zeitrechnung.
Hatte mich letztens ein bisschen mit großen Zahlen beschäftigt. Ist eine Million eine große Zahl? Man kann sie direkt aufschreiben: 1000000. Oder 10^6, das ist das gleiche. Doch erst mal zurück zum Quadrieren. Damit kommt man schnell auf große Zahlen. 49² war 2401, und 2401² ist bereits 5764801, also schon mehr als 10^6. 5764801² ergibt eine Zahl mit 14 Stellen. Wir merken uns das mal, die Zahl Sieben haben wir vier mal quadriert und erhalten ein Ergebnis mit 28 Stellen.
Wir wollen große Zahlen. Warum schreiben nicht gleich 10^100? Eine Eins mit hundert Nullen, ein Googol. Wenn man Zeit hat, kann man das noch aufschreiben. Ist diese Zahl groß? Zumindest größer als die Anzahl der Atome der Erde. Atome bestehen aus weiteren Teilchen. Nehmen wir also Quarks, Elektronen, alle Partikel von Strahlung, von Kräften, die nicht nur auf der Erde sondern im bekannten UNIVERSUM existieren, haben wir eine Zahl ... unterhalb von 10^100.
Aber warum aufhören? Schreiben wir doch einfach 10^10^100. Solche Ausdrücke werden von rechts nach links ausgewertet. Wir hatten anfangs die 7 vier mal quadriert, aber das kann man nicht als 7^2^2^2^2 schreiben, weil wir eben bei potenzieren nicht von links nach rechts gehen sondern wie gesagt von hinten lesen. Macht das einen Unterschied? Nun ja, 7^2^2^2^2 hat, von rechts ausgewertet, nicht 13 Stellen. Sondern über 50000 Stellen
Natürlich rechnet man auch 10^10^100 von der rechten Seite aus: 10^(10^100). Nennt sich Googolplex. Eine Eins mit MEHR Nullen als alle Teilchen des Universums. Kann man prinzipiell nicht mehr als Dezimalzahl aufschreiben.
Groß genug? Ergibt es überhaupt Sinn, über größere Zahlen nachzudenken?
Der Mathematiker Ron Graham beschäftigte sich mal mit einem Problem bei dem es darum geht, Kanten inklusive aller Diagonalen von Würfeln einzufärben. Man hat zwei Farben zur Verfügung. Kann man verhindern, dass ein bestimmter kleiner Teilbereich der Kanten mit derselben Farbe bemalt wird? Die Frage erscheint nicht intuitiv, natürlich kann man das verhindern, weil man die Kanten nach Belieben mit den beiden Farben bemalen kann. Was ist mit Hyper-Würfeln in höheren Dimensionen? Man kann das für einige Dimensionen durchprobieren und findet auch da immer Möglichkeiten, zu verhindern einen kleinen Teilbereich mit derselben Farbe zu bemalen. Aber gilt das wirklich immer oder gibt es eine Anzahl an Dimensionen ab der es einfach nicht vermeidbar ist?
Graham konnte zeigen: Ja, es gibt eine endliche Zahl an Hyperwürfel-Dimensionen wo man ganz prinzipiell nicht verhindern kann, einen bestimmten kleinen Ausschnitt mit nur einer Farbe zu färben. Er konnte auch schon eine Obergrenze bestimmen. Dafür reichte allerdings die Verwendung von Exponenten wie 10^100 oder von Exponent-Türmen wie 10^(10^100) nicht aus. Er verwendete die bereits etablierte Pfeil-Notation. Wir beginnen mit 3↑3. Das ist einfach auszurechnen, es ist einfach 3^3. Das heißt, 3 * 3 * 3. Also 27.
Kommen wir zu 3↑↑3. Da gehen wir genauso vor wie eben, und dröseln es auf, zu 3↑3↑3. Genau wie bei Exponenten werten wir das von rechts nach links aus, es ist 3↑(3↑3). Wir wissen schon dass 3↑3 = 27 ist. Und 3↑27 heißt: 3^27. Das ist eine Zahl mit dreizehn Dezimalstellen. Also, langweilig. Was wir brauchen ist folgendes: 3↑↑↑3. Wie immer können wir das schön einfach umformulieren:
3↑↑(3↑↑3).
3↑↑3 kennen wir, das war eine dreizehnstellige Zahl. Das heißt, der Potenzturm umfasst so viele ^3! Das Ergebnis ist ein richtiger Brummer. Nehmen wir noch mal alle Teilchen im Universum. Leute haben überlegt, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es damit gibt. Also theoretisch mögliche Zustände des Universums. Ob deine Tastatur einen Kratzer hat der nur ein Atom tief ist oder nicht, sind schon unterschiedliche Zustände. Ob ein Photon bisschen eher oder später eintrifft, auch. 3↑↑↑3 ist ganz erheblich größer als alle Zustände die das Universum annehmen kann.
Also richtig bescheuert größer, nicht nur ein paar Nullen oder ein paar mal "hoch drei" mehr. 3↑↑↑3 ist dermaßen viel größer, das ist abartig. Zur kurzen Einordnung: Das Alter des Universums ist aktuell rund 10^60 der kleinsten physikalisch relevanten Zeiteinheit. Betrachten wir alle denkbaren Verläufe des Universums im Sinne aller möglichen Konfigurationen, und sogar über 10^100 dieser Zeiteinheiten. Vielleicht zerfallen Protonen schon schon nach 10^85 der Planck-Zeiten, wir haben uns mit 10^100 also gute Sicherheitsmarge gegönnt. Alle kombinatorisch möglichen Verläufe des UNIVERSUMS bis runter zum Unterschied von nur einem Teilchen am anderen Ende es Universums zu nur einem Zeitpunkt, und wir sind noch lange nicht bei 3↑↑↑3.
Was wir wirklich brauchen, ist 3↑↑↑↑3. Also: 3↑↑↑(3↑↑↑3). Ganz genau.
Das ist endlich Grahams Zahl ... oder doch nicht. Es ist G1. G2 ist 3 mit G1 PFEILEN. Wir brauchen noch G3, das hat G2 Pfeile. Und machen weiter bis G64.
Dieser Wert, Grahams Zahl, hat gewisse Berühmtheit. Neuere Forschung konnte die Obergrenze für das Einfärbproblem erheblich senken, dennoch hat Ron Graham bahnbrechende Arbeit geleistet: Er konnte nicht nur zeigen dass es eine Obergrenze geben muss, sondern auch schon mal eine Obergrenze angeben.
Wer denkt, wir sind jetzt bei großen Zahlen, liegt falsch.
Willkommen bei der Tree-Funktion. Hier geht es auch ums Einfärben, nach bestimmten Spielregeln was Verzweigungen betrifft, man malt also eine Art Baum und muss Bedingungen einhalten, konkret muss man bestimmte Wiederholungen vermeiden. Hat man nur eine Farbe, reicht es lediglich für einen Strich. Bei zwei Farben kann man 3 Bäume haben. Bei drei Farben scheint es, probiert man rum, kein Ende mehr zu geben aber das stimmt nicht. Nur ist die Zahl so unfassbar groß, Grahams Zahl ist nüscht dagegen. Also nicht vielleicht nur 0,000000001% davon, sondern wirklich praktisch nüscht. Der ganze Aufwand die Pfeil-Notation zu erklären die extrem schnell nach oben explodiert, und dann diese Werte für die Zahl der Pfeile zu nehmen, das beschreibt eine mies steil wachsende Funktion. Ist aber zu schlaff, um das Wachstum der Tree-Funktion zu erläutern. Diese wächst nochmal viel steiler. Das ist nicht lustig.
Warum bei Tree(3) aufhören? Tree(4) ist nochmal abstrus fetter. Und was ist mit Tree(Tree(3)). Das ist ... ein ziemlicher Oschi. Es gibt noch andere Funktionen, wie den fleißigen Biber. Hier geht es letztlich um Programmierbarkeit, oder eigentlich um das Gegenteil, das nicht berechenbare Halteproblem. Der Biber ist ein Avatar der auf einem endlosen Flur von Räumen dort die Lichter ein- und ausschaltet und ein Ziel erfüllen muss. Die Biber-Funktion wächst erst langsamer als Tree, aber dann schneller und lässt die Tree-Funktion mickrig aussehen.
Ein Typ namens Agustín Rayo hatte sich noch etwas einfallen lassen. Es geht um Ausdruckskraft von Symbollogik mit gegebener Zahl von Symbolen um daraus die größtmöglich darstellbare Zahl abzubilden. Er hatte es raffinierter formuliert, als kleinste nicht mehr darstellbare Zahl mit der Anzahl an Symbolen. Man müsste zudem weitere Bedingungen angeben was denn genau in der Symbollogik erlaubt ist, aber kann generell zeigen dass die Funktion zunächst langsam wächst aber dann aber durch jede Decke geht. Rayo(10^100) ist erheeeblich größer als Tree(Tree(3)). Oder Tree(Tree(Tree(3))). Oder Tree(Tree(Tree(Tree(3)))). Oder noch weiteren Iterationen. Und auch wenn der fleißige Biber angelatscht kommt, er kann einpacken.
Rayo(10^100) ist so groß, es ist schon dumm. Doch, das ist ja die Sache, fast alle Zahlen sind größer.
Einen hab ich noch. Die Obergrenze des Hyperwürfel-Einfärbe-Problems wurde inzwischen durch neue Beweise stark gesenkt aber ist noch immer jenseits der Zahl der möglichen Schicksale des Universums. Die aktuell bekannte UNTERgrenze?
Dreizehn.
Will man eine schon große Zahl vergrößern, nimmt man sie einfach zum Quadrat. 49² ist 2401, länger als unsere Zeitrechnung.
Hatte mich letztens ein bisschen mit großen Zahlen beschäftigt. Ist eine Million eine große Zahl? Man kann sie direkt aufschreiben: 1000000. Oder 10^6, das ist das gleiche. Doch erst mal zurück zum Quadrieren. Damit kommt man schnell auf große Zahlen. 49² war 2401, und 2401² ist bereits 5764801, also schon mehr als 10^6. 5764801² ergibt eine Zahl mit 14 Stellen. Wir merken uns das mal, die Zahl Sieben haben wir vier mal quadriert und erhalten ein Ergebnis mit 28 Stellen.
Wir wollen große Zahlen. Warum schreiben nicht gleich 10^100? Eine Eins mit hundert Nullen, ein Googol. Wenn man Zeit hat, kann man das noch aufschreiben. Ist diese Zahl groß? Zumindest größer als die Anzahl der Atome der Erde. Atome bestehen aus weiteren Teilchen. Nehmen wir also Quarks, Elektronen, alle Partikel von Strahlung, von Kräften, die nicht nur auf der Erde sondern im bekannten UNIVERSUM existieren, haben wir eine Zahl ... unterhalb von 10^100.
Aber warum aufhören? Schreiben wir doch einfach 10^10^100. Solche Ausdrücke werden von rechts nach links ausgewertet. Wir hatten anfangs die 7 vier mal quadriert, aber das kann man nicht als 7^2^2^2^2 schreiben, weil wir eben bei potenzieren nicht von links nach rechts gehen sondern wie gesagt von hinten lesen. Macht das einen Unterschied? Nun ja, 7^2^2^2^2 hat, von rechts ausgewertet, nicht 13 Stellen. Sondern über 50000 Stellen
Natürlich rechnet man auch 10^10^100 von der rechten Seite aus: 10^(10^100). Nennt sich Googolplex. Eine Eins mit MEHR Nullen als alle Teilchen des Universums. Kann man prinzipiell nicht mehr als Dezimalzahl aufschreiben.
Groß genug? Ergibt es überhaupt Sinn, über größere Zahlen nachzudenken?
Der Mathematiker Ron Graham beschäftigte sich mal mit einem Problem bei dem es darum geht, Kanten inklusive aller Diagonalen von Würfeln einzufärben. Man hat zwei Farben zur Verfügung. Kann man verhindern, dass ein bestimmter kleiner Teilbereich der Kanten mit derselben Farbe bemalt wird? Die Frage erscheint nicht intuitiv, natürlich kann man das verhindern, weil man die Kanten nach Belieben mit den beiden Farben bemalen kann. Was ist mit Hyper-Würfeln in höheren Dimensionen? Man kann das für einige Dimensionen durchprobieren und findet auch da immer Möglichkeiten, zu verhindern einen kleinen Teilbereich mit derselben Farbe zu bemalen. Aber gilt das wirklich immer oder gibt es eine Anzahl an Dimensionen ab der es einfach nicht vermeidbar ist?
Graham konnte zeigen: Ja, es gibt eine endliche Zahl an Hyperwürfel-Dimensionen wo man ganz prinzipiell nicht verhindern kann, einen bestimmten kleinen Ausschnitt mit nur einer Farbe zu färben. Er konnte auch schon eine Obergrenze bestimmen. Dafür reichte allerdings die Verwendung von Exponenten wie 10^100 oder von Exponent-Türmen wie 10^(10^100) nicht aus. Er verwendete die bereits etablierte Pfeil-Notation. Wir beginnen mit 3↑3. Das ist einfach auszurechnen, es ist einfach 3^3. Das heißt, 3 * 3 * 3. Also 27.
Kommen wir zu 3↑↑3. Da gehen wir genauso vor wie eben, und dröseln es auf, zu 3↑3↑3. Genau wie bei Exponenten werten wir das von rechts nach links aus, es ist 3↑(3↑3). Wir wissen schon dass 3↑3 = 27 ist. Und 3↑27 heißt: 3^27. Das ist eine Zahl mit dreizehn Dezimalstellen. Also, langweilig. Was wir brauchen ist folgendes: 3↑↑↑3. Wie immer können wir das schön einfach umformulieren:
3↑↑(3↑↑3).
3↑↑3 kennen wir, das war eine dreizehnstellige Zahl. Das heißt, der Potenzturm umfasst so viele ^3! Das Ergebnis ist ein richtiger Brummer. Nehmen wir noch mal alle Teilchen im Universum. Leute haben überlegt, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es damit gibt. Also theoretisch mögliche Zustände des Universums. Ob deine Tastatur einen Kratzer hat der nur ein Atom tief ist oder nicht, sind schon unterschiedliche Zustände. Ob ein Photon bisschen eher oder später eintrifft, auch. 3↑↑↑3 ist ganz erheblich größer als alle Zustände die das Universum annehmen kann.
Also richtig bescheuert größer, nicht nur ein paar Nullen oder ein paar mal "hoch drei" mehr. 3↑↑↑3 ist dermaßen viel größer, das ist abartig. Zur kurzen Einordnung: Das Alter des Universums ist aktuell rund 10^60 der kleinsten physikalisch relevanten Zeiteinheit. Betrachten wir alle denkbaren Verläufe des Universums im Sinne aller möglichen Konfigurationen, und sogar über 10^100 dieser Zeiteinheiten. Vielleicht zerfallen Protonen schon schon nach 10^85 der Planck-Zeiten, wir haben uns mit 10^100 also gute Sicherheitsmarge gegönnt. Alle kombinatorisch möglichen Verläufe des UNIVERSUMS bis runter zum Unterschied von nur einem Teilchen am anderen Ende es Universums zu nur einem Zeitpunkt, und wir sind noch lange nicht bei 3↑↑↑3.
Was wir wirklich brauchen, ist 3↑↑↑↑3. Also: 3↑↑↑(3↑↑↑3). Ganz genau.
Das ist endlich Grahams Zahl ... oder doch nicht. Es ist G1. G2 ist 3 mit G1 PFEILEN. Wir brauchen noch G3, das hat G2 Pfeile. Und machen weiter bis G64.
Dieser Wert, Grahams Zahl, hat gewisse Berühmtheit. Neuere Forschung konnte die Obergrenze für das Einfärbproblem erheblich senken, dennoch hat Ron Graham bahnbrechende Arbeit geleistet: Er konnte nicht nur zeigen dass es eine Obergrenze geben muss, sondern auch schon mal eine Obergrenze angeben.
Wer denkt, wir sind jetzt bei großen Zahlen, liegt falsch.
Willkommen bei der Tree-Funktion. Hier geht es auch ums Einfärben, nach bestimmten Spielregeln was Verzweigungen betrifft, man malt also eine Art Baum und muss Bedingungen einhalten, konkret muss man bestimmte Wiederholungen vermeiden. Hat man nur eine Farbe, reicht es lediglich für einen Strich. Bei zwei Farben kann man 3 Bäume haben. Bei drei Farben scheint es, probiert man rum, kein Ende mehr zu geben aber das stimmt nicht. Nur ist die Zahl so unfassbar groß, Grahams Zahl ist nüscht dagegen. Also nicht vielleicht nur 0,000000001% davon, sondern wirklich praktisch nüscht. Der ganze Aufwand die Pfeil-Notation zu erklären die extrem schnell nach oben explodiert, und dann diese Werte für die Zahl der Pfeile zu nehmen, das beschreibt eine mies steil wachsende Funktion. Ist aber zu schlaff, um das Wachstum der Tree-Funktion zu erläutern. Diese wächst nochmal viel steiler. Das ist nicht lustig.
Warum bei Tree(3) aufhören? Tree(4) ist nochmal abstrus fetter. Und was ist mit Tree(Tree(3)). Das ist ... ein ziemlicher Oschi. Es gibt noch andere Funktionen, wie den fleißigen Biber. Hier geht es letztlich um Programmierbarkeit, oder eigentlich um das Gegenteil, das nicht berechenbare Halteproblem. Der Biber ist ein Avatar der auf einem endlosen Flur von Räumen dort die Lichter ein- und ausschaltet und ein Ziel erfüllen muss. Die Biber-Funktion wächst erst langsamer als Tree, aber dann schneller und lässt die Tree-Funktion mickrig aussehen.
Ein Typ namens Agustín Rayo hatte sich noch etwas einfallen lassen. Es geht um Ausdruckskraft von Symbollogik mit gegebener Zahl von Symbolen um daraus die größtmöglich darstellbare Zahl abzubilden. Er hatte es raffinierter formuliert, als kleinste nicht mehr darstellbare Zahl mit der Anzahl an Symbolen. Man müsste zudem weitere Bedingungen angeben was denn genau in der Symbollogik erlaubt ist, aber kann generell zeigen dass die Funktion zunächst langsam wächst aber dann aber durch jede Decke geht. Rayo(10^100) ist erheeeblich größer als Tree(Tree(3)). Oder Tree(Tree(Tree(3))). Oder Tree(Tree(Tree(Tree(3)))). Oder noch weiteren Iterationen. Und auch wenn der fleißige Biber angelatscht kommt, er kann einpacken.
Rayo(10^100) ist so groß, es ist schon dumm. Doch, das ist ja die Sache, fast alle Zahlen sind größer.
Einen hab ich noch. Die Obergrenze des Hyperwürfel-Einfärbe-Problems wurde inzwischen durch neue Beweise stark gesenkt aber ist noch immer jenseits der Zahl der möglichen Schicksale des Universums. Die aktuell bekannte UNTERgrenze?
Dreizehn.