Unendlich

[aths]

Letztes mal ging es um große Zahlen: https://www.forum-3dcenter.org/vbulletin/showthread.php?p=13889790&posted=1#post13889790

Heute sind wir größenwahnsinnig, es geht um Unendlichkeit. Erst mal eine endliche Zahl: 1/3. Das kann man auch dezimal aufschreiben, 0,333333... aber ist diese Schreibweise wirklich 1/3? Man kann die unendlich vielen Dreien ja nicht hinschreiben. Sagt man: Null-Komma-Periode-Drei, steht das für unendlich viele Dreien. Dass man die nicht einzeln aufschreiben kann, spielt keine Rolle. Es ist, wirklich, exakt ein Drittel.

Schauen wir jetzt nur auf natürliche Zahlen ab Null. Man kann immer plus Eins rechnen. Nie stößt man an eine Grenze. An Bruchzahlen scheint es viel mehr zu geben. Schon zwischen Null und Eins gibt es unendlich viele Brüche. Und wir haben unendlich viele natürliche Zahlen. Zwischen allen erneut unendlich viele Brüche. Damit muss es insgesamt unendlich mal unendlich viele Brüche geben, oder? Oder doch nicht? Ein Bruch hat einen Zähler und einen Nenner. Nach dieser Betrachtung braucht man nur noch 2*unendlich für alle Brüche. Aber nimmt man einfach alle Zähler und Nenner, wobei der Nenner natürlich nicht Null sein darf, wiederholen sich ja auch Brüche. 2/6 = 1/3. 3/9 auch. Entsprechend müsste es "weniger als doppelt so viel unendlich" ein. Das Unendliche ist allerdings keine Zahl, man kann es nicht multiplizieren.

Der Mathematiker Georg Cantor hatte sich überlegt dass man eine unendlich große Tabelle aufstellt. Wie schon bei Null-Komma-Periode-Drei kommt es nicht darauf an die Tabelle wirklich aufzuschreiben, es geht um das Prinzip. Sagen wir in der Tabelle stehen nach rechts die Zähler von 1 bis unendlich, nach unten der Nenner. Damit wird jeder Bruch abgedeckt. Wir gehen einfach vom ersten Eintrag an in einer Zickzack-Kurve durch und zählen dabei einen Index hoch. Wenn man möchte, überspringt man 2/6 weil 1/3 schon drin steht. Macht man das unendlich lange, hat man alle Brüche erfasst. Damit zeigt sich, dass es genau so viele Bruchzahlen wie natürliche Zahlen gibt.

Klingt komisch, ist aber so: Dank des Verfahrens, im Prinzip alle Brüche mit natürlichen Zahlen indizieren zu können, haben wir gezeigt dass beide Mengen gleich groß sind. Das ist absolut kontra-intuitiv, stellen wir uns vor wir greifen uns willkürlich irgendeinen Bruch raus. Erwischen wir dabei zufällig eine Ganzzahl, also zum Beispiel 4/2, oder 13/1, oder 42/7, legen wir eine Kugel in ein rotes Glas, ansonsten in ein blaues Glas. Das blaue Glas wird ruckzuck sehr voll, das rote kaum. Macht aber nichts. Innerhalb der Bruchzahlen gibt es verschwindend wenige Ganzzahlen, doch beide Mengen sind unendlich.

Nun gibts neben den Brüchen, wo sich die Dezimalstellenfolgen irgendwann wiederholen, noch die reellen Zahlen. Das umfasst auch Brüche, aber auch Zahlen wo sich nie ein Dezimalstellen-Muster für immer wiederholt, weshalb man sich nicht als Bruch ausdrücken kann. Von diesen reellen Zahlen gibt es, wer hätte das gedacht, unendlich viele. Georg Cantor sagte nun, wir stellen uns dieses mal keine Tabelle vor sondern einfach eine Liste. Die ALLE reellen Zahlen enthält. Wie das genau gehen soll ist wurscht, wir sagen einfach dass diese Liste existiert. Um es einfach zu halten, reicht es dass die Liste nur einen bestimmten Bereich umfasst, konkret steht am Anfang Null-Komma, und dann folgen unendlich viele Nachkommastellen.

Nun erstellen wir eine weitere Zahl, wir nehmen den ersten Eintrag, die Ziffer ganz links, und ändern sie. Vom zweiten Eintrag nehmen wir die zweite Ziffer und ändern sie. Und machen das unendlich lange, bis wir eine Zahl haben mit unendlich vielen neuen Ziffern.

Diese aber kann ja nirgendwo in der vorliegenden Liste enthalten sein, weil wir jede Stelle abgeändert haben. Damit ist unsere Voraussetzung dass die Liste ALLE reellen Zahlen enthält, nicht möglich. Aber gut, fügen wir die neue, noch fehlende Zahl einfach der Liste hinzu. Doch wir können mit dem Ziffer-Ersetz-Verfahren wieder eine Zahl basteln, die noch nicht drin war. Das klingt absurd, weil die Liste doch unendlich groß ist.

Stimmt, aber die Liste ist abzählbar. Und damit nicht groß genug, alle reellen Zahlen darzustellen. Machen wir es mit der Liste andersherum: Aus einem Topf aller reellen Zahlen die mit Null-Komma beginnen, nehmen wir eine raus und schreiben sie auf die Liste, und daneben zählen wir hoch, erster Eintrag, zweiter Eintrag und so weiter. Das machen wir unendlich lange.

UNENDLICH lange, und tragen immer den Index aus der Menge der natürlichen Zahlen ein. Der Topf mit reellen Zahlen ist dann noch immer voll. Denn es gibt überabzählbar viele reelle Zahlen.

Kopfschmerzen?

Der Trick ist zu verstehen, dass abzählbar bedeutet dass sich ein Verfahren angeben lässt, das nach unendlicher Laufzeit alle unendlich viele Elemente erfasst. Das klappt für natürliche Zahlen, immer plus Eins, für Brüche. Aber nicht für alle reelle Zahlen. Davon gibt es überabzählbar unendlich.

Ich finde es mega-faszinierend, dass Menschen, endliche Wesen in einem wohl endlichen Universum sind Gedanken machen können, die Unendlichkeit betreffen. Man kann innerhalb der Mengenlehre aus der Menge der natürlichen Zahlen eine neue, überabzählbare Menge konstruieren. Und aus dieser überabzählbaren Menge ein nochmals mächtigeres Unendlich. Und so weiter. Ehrlich gesagt steigt mein Kopf da aus. Immerhin, mit Mathematik gibt es Werkzeuge, sogar Unendlichkeiten zu untersuchen.

[Asmodeus]

Auch spannend, wenn man die Aspekte der mathematischen Endlichkeit und Unendlichkeit etwas greifbarer in alltägliche Situationen überträgt.

Recht gut funktioniert das z.B. mittels Rotationskörpern (mathematische Funktionen, die z.B. um die X-Achse rotiert werden). Dabei können Körper entstehen, die ein endliches Volumen, aber eine unendliche Oberfläche besitzen (z.B. "Gabriels Horn").

Man könnte somit einen Schreiner damit beauftragen, diesen Körper anzufertigen. Aber wenn ein Maler danach diesen Körper mit Farbe anstreichen sollte, wäre das nicht möglich („Maler-Paradoxon“). :D

[x-force]

Man könnte somit einen Schreiner damit beauftragen, diesen Körper anzufertigen.

könntest du, aber er würde scheitern ;)

die "vollendung" dürfte das fraktal sein. ein mengerschwamm mit unendlicher oberfläche und quasi keinem volumen.

finde ich etwas schöner als eine langgezogene tröte ;)

[Badesalz]

Recht gut funktioniert das z.B. mittels Rotationskörpern (mathematische Funktionen, die z.B. um die X-Achse rotiert werden). Dabei können Körper entstehen, die ein endliches Volumen, aber eine unendliche Oberfläche besitzen (z.B. "Gabriels Horn").Das ist imho auch so ein Mathe-Glitsch. Man kann die Tröte nicht unendlich dünner ziehen. Wegen Planck und so...

Selbst Mengen an "Sachen" sind nicht unendlich, weil einem irgendwann die Atome ausgehen. Oder die Energie. Das gleiche gilt dann halt auch für Größer und Kleiner.

[OgrEGT]

Das nennt man wohl Theorie und Praxis :)

[Badesalz]

Was jetzt übrigens auch den ganzen Quantenspinnern auf die Füße fällt :up:

[sun-man]

....und ich scheitere schon bei der Erklärung von linearen Funktionen fürs Kind :D

[aths]

....und ich scheitere schon bei der Erklärung von linearen Funktionen fürs Kind :D
"Wenn ein Lineal reicht und man keine Kurven hat, ist die Funktion linear".

[Iscaran]

Ich kenne noch ein gutes Beispiel für "unendlich"...

Die "unendliche Diskussion" über "Klimawandel gibt es nicht/doch/nein/aber/"
https://www.forum-3dcenter.org/vbulletin/showthread.php?t=511943&page=240&highlight=klimamodelle

[Relex]

Für mich ist das Problem, dass die Mathematik Unendlichkeit als fertiges Objekt behandelt. Für mich ist Unendlichkeit aber eher ein potenzieller Prozess. Man kann immer weiter zählen, immer weitere Elemente erzeugen, aber der Prozess ist per Definition nie abgeschlossen.

Wenn eine Menge niemals vollständig „fertig“ sein kann, finde ich es fragwürdig, ihr eine feste Größe zuzuordnen oder zwei solcher Mengen zu vergleichen. Das wär ungefähr so, als würde man „unendlich“ mit „unendlich + 1“ vergleichen und daraus eine Größenordnung ableiten.

Mir ist schon klar, dass Cantors Mengenlehre das in der Mathematik alles sauber definiert, aber rein gedanklich überzeugt mich das überhaupt nicht, Unendlichkeiten als vollständige Objekte zu behandeln.

Das ist halt wieder ein Punkt an dem Mathematik den Bezug zur Realität bzw. Physik verliert. Nicht alles was mathematisch definiert oder konstruiert werden kann muss in der Physik möglich sein. Und für mich ist das Gedankenexperiment bzw. sich das vorstellen zu wollen eben auch etwas „physikalisches“ denn man versucht ja es sich irgendwie greifbar zu machen.

Für mich ist Mathematik in erster Linie ein logisches, vom Menschen erdachtes Regelwerk. Man kann innerhalb dieses Regelwerks Strukturen beschreiben, aber das heißt nicht automatisch, dass alles, was darin definierbar ist, auch irgendeine reale Entsprechung haben muss.

Nur weil man innerhalb dieses Systems die wildesten Konzepte wie verschiedene Größen von Unendlichkeit „korrekt“ formulieren kann, heißt das für mich noch nicht, dass die Konzepte eine physikalische oder reale Bedeutung haben. Mathematik kann Dinge beschreiben, die logisch innerhalb der Mathematik „denkbar“ sind, die aber nicht zwingend etwas über die tatsächliche Realität aussagen und genau das verwirrt uns dann. Weil eben alles was nicht reell greifbar ist oder real existieren kann diese Verwirrung auslöst.

Das meiste oder vermutlich auch alles was physikalisch existiert, lässt sich (früher oder später) mathematisch nachvollziehen. Aber die Realität hat eben ganz klare Limits und Einschränkungen die in der Mathematik nicht gelten müssen. Deswegen sind Physik und Mathematik ja auch unterschiedliche Fachbereiche. Die Mathematik definiert nicht die Physik oder Realität.

[sun-man]

"Wenn ein Lineal reicht und man keine Kurven hat, ist die Funktion linear".
:freak:;D y, m, x......rausfinden, einsetzen. Aber gut, im Job brauch ich das nicht, ist "nur" fürs Kind :D

[Badesalz]

Für mich ist Mathematik in erster Linie ein logisches, vom Menschen erdachtes Regelwerk. Man kann innerhalb dieses Regelwerks Strukturen beschreiben, aber das heißt nicht automatisch, dass alles, was darin definierbar ist, auch irgendeine reale Entsprechung haben muss.Nur weil man innerhalb dieses Systems die wildesten Konzepte wie verschiedene Größen von Unendlichkeit „korrekt“ formulieren kann, heißt das für mich noch nicht, dass die Konzepte eine physikalische oder reale Bedeutung haben.
Wunderbar :up:
Genau damit haben sie die Teilchenphysik komplett versaut.

Sonst ist das so bisschen wie mit der Zeit =) Das sind Einheiten die wir für genauere Beschreibungen nutzen. Das wars schon. Das ist unseres eigenes Produkt. Das Universum selbst braucht das genauso wenig wie die Unendlichkeit.

PS:
Das einzig interessante an der Unendlichkeit ist, da endliche Geometrie (!), eigentlich nur Pi :wink:

[f10]

Kopfschmerzen?
Die bekommen die Studierenden ja schon, wenn sie zwischen zwei vermeintlich unterschiedlich großen Mengen einen bijektive Abbildung erzeugen und damit dann zeigen, dass sie doch gleichmächtig sind. Da macht der Kopf das erste mal "Aua".

Für mich ist das Problem, dass die Mathematik Unendlichkeit als fertiges Objekt behandelt. Für mich ist Unendlichkeit aber eher ein potenzieller Prozess. ...'Gegenbeispiel': Zwei parallele Geraden. Schneiden sich im abgeschlossenen Raum im 'Unendlichen' (besser: Fernpunkt). Das ist ein 'fertiges Objekt'. Und das kann ich sogar mit dem Auge (Kamera ...) sehen. Denn das zentralprojektive Bild des Fernpunkts ist der Fluchtpunkt. Ich kann sogar ganze parallele Ebenenschnitte im unendlichen sehen: Da wird aus einer speziellen Ferngerade plötzlich (eine Fluchtgerade /) der Horizont.


Das einzig interessante an der Unendlichkeit ist, da endliche Geometrie (!), eigentlich nur Pi :wink:
Endliche Geometrie ... :freak: siehe das Minibeispiel ein paar Zeilen drüber.


Ich kenne noch ein gutes Beispiel für "unendlich"...

Die "unendliche Diskussion" über "Klimawandel gibt es nicht/doch/nein/aber/"
https://www.forum-3dcenter.org/vbulletin/showthread.php?t=511943&page=240&highlight=klimamodelleUnd das ist der Kern des Problems, was ich mit diesen Diskussionen über solche Themen wie Klimawandel, Coronapandemie usw. habe. Ich will diese Diskussion hier nicht politisieren aber es nervt einfach tierisch, wenn plötzlich jeder Hanswurst aus dem Internet meint, er könne besser mit Zahlen umgehen oder mathematisch Modellieren, als die studierte, promovierte, habilitierte ... Fachperson dazu.

[Badesalz]

Endliche Geometrie ... :freak: siehe das Minibeispiel ein paar Zeilen drüber.Oh bitte... Was ist an einem Kreis sonst unendlich? Den Kontext genehm mal eben erweitert? :wink:
Und das ist der Kern des Problems, was ich mit diesen Diskussionen über solche Themen wie Klimawandel, Coronapandemie usw. habe. Ich will diese Diskussion hier nicht politisieren aber es nervt einfach tierisch, wenn plötzlich jeder Hanswurst aus dem Internet meint, er könne besser mit Zahlen umgehen oder mathematisch Modellieren, als die studierte, promovierte, habilitierte ... Fachperson dazu.Na die RKI leaks haben schonmal gezeigt, daß einige von denen gar nicht mal so schlecht sind.

Mal davon ab, daß Wissenschaftler nicht selten selbst Agenden haben oder für solche korrumpiert oder existenziell bedrängt werden. Oder sich eben selbst korrumpieren, wie die theoretische Teilchenphysik - die man bisher den Mathematikern überlies - der aktuellsten Neuzeit bewiesen hat.
Eigentlich bin ich schon bei dir, aber das Gefühl eines blinden Vertrauens wollte sich in meinem Leben leider nie so wirklich entwickeln.
https://www.forum-3dcenter.org/vbulletin/showpost.php?p=13896607&postcount=11979

PS:
Das Minibeispiel wird für die meisten befremdlich sein, in dem sich 2 parallele Linien überschneiden...

[f10]

Oh bitte... Was ist an einem Kreis sonst unendlich?
Auch in der Geometrie muss verallgemeinert werden. Bezogen auf den Kreis ist auch eine Gerade ein eben solcher: mit unendlich großen Radius. Mag abstrakt klingen aber wie möchte man sonst argumentieren, dass eine stereographische Projektion kreistreu sei? Das ist auch keine Theorie, sondern war die letzten zweitausend Jahre für Navigationsinstrumente essentiell.

Der Tellerrand ist bei der Mathematik durchaus schneller erreicht, als man denkt oder umgedreht auch: klappen komplexe Aufgaben mit einfachsten mathematischen Werkzeugkasten.


PS:
Das Minibeispiel wird für die meisten befremdlich sein, in dem sich 2 parallele Linien überschneiden...Jeder kann das Bild des Schnittpunkts zweier paralleler Geraden sehen.

PS: Ansonsten will ich den Thread nicht politisch kapern. Die Grundaussage bleibt: Mathematik ist nicht von der Meinung von Menschen abhängig.

[Badesalz]

Auch in der Geometrie muss verallgemeinert werden. Bezogen auf den Kreis ist auch eine Gerade ein eben solcher: mit unendlich großen Radius. Mag abstrakt klingen aber wie möchte man sonst argumentieren, dass eine stereographische Projektion kreistreu sei? Das ist auch keine Theorie, sondern war die letzten zweitausend Jahre für Navigationsinstrumente essentiell.Und trotzdem sieht Grönland auf den allermeisten Karten massiv zu groß aus :tongue:
Jeder kann das Bild des Schnittpunkts zweier paralleler Geraden sehen. Mir gelang das bisher nicht :frown: Gibt es Bilder davon?

PS:
Wow. Eine Linie ist ein Kreis mit unendlichem Radius. Wow... Faszinierend und Zauber-Zauber ;) Bisschen Mathe für ein winkeltreues oder flächentreues Hinkritzeln der Kugeloberfläche auf eine ebene Fläche (Ptolomäus/Hipparchos).
Mach das mal nicht so mystisch.

[Pinoccio]

Mathematik ist nicht von der Meinung von Menschen abhängig."Unendlichkeit" wird in der Mathematik per Axiom erzwungen, was wenn nicht auch Meinungsdikatur ist das?
mfg

[Relex]

'Gegenbeispiel': Zwei parallele Geraden. Schneiden sich im abgeschlossenen Raum im 'Unendlichen' (besser: Fernpunkt). Das ist ein 'fertiges Objekt'. Und das kann ich sogar mit dem Auge (Kamera ...) sehen. Denn das zentralprojektive Bild des Fernpunkts ist der Fluchtpunkt. Ich kann sogar ganze parallele Ebenenschnitte im unendlichen sehen: Da wird aus einer speziellen Ferngerade plötzlich (eine Fluchtgerade /) der Horizont.


Na ja, ein Fluchtpunkt ist kein realer Punkt im Raum, sondern ergibt sich aus der Projektion vom 3D Raum in ein 2D Bild. Dort schneiden sich parallele Linien dann scheinbar. Dafür definiert man dann in der Mathematik den Fernpunkt, aber das ist eben auch nur wieder eine mathematische Hilfe um ein Modell zu beschreiben, aber kein physisch existierender Ort, den man beobachten kann.

Im Endeffekt ist genau das ja mein Punkt. Du kannst mit Mathematik konsistente Modelle bauen und reale phänomene und effekte beschreiben, aber die Objekte die in der Mathematik auftauchen, wie eben der Fluchtpunkt müssen keine reale Entsprechung haben, sie sind halt einfach teil des mathematischen Regelwerks.


Im übertragenen sinne gleicht das für mich halt in etwa der Tatsache, dass sich ein Schatten schneller als Lichtgeschwindigkeit bewegen könnte oder dass man einen Laser blitzschnell über den Himmel bewegen kann und sich der Punkt dann quasi mit Überlichtgeschwindigkeit bewegt. Oder z.B. dass ein Regenbogen zwar optisch "da" ist, also eine Projektion, aber keiner wirklichen Position im Raum zuzuordnen ist.

Das alles sind projektionen und geometrische effekte die für sich isoliert betrachtet, eben als Projektion solche Fragen aufwerfen können, aber sie haben halt kein Fundament in der Realität, weil man dafür den dreidiemensionalen Raum berücksichtigen müsste und dann eben feststellt, dass die Projektion eigentlich nur eine Täuschung ist, wenn man so will. Wenn man auf basis einer solchen "Täuschung" dann natürlich formal korrekte Mathematik anwendet passieren natürlich so verrückte sachen wie zwei parallele Linien die sich scheinbar im Unendlichen an einem Punkt treffen, aber eben auch angeblich wirklich treffen MÜSSEN. Aber die Annahme ist für mich halt falsch, weil die Projektion in 2D eben nicht der Realität im Raum entspricht.


Übrigens gehts bei Cantor meines Wissens dann auch um tatsächlich unendliche Mengen, nicht um geometrische Systeme und Projektionseffekte.


Letztendlich ist das für mich ein rein philosophisches Thema. Die Mathematik erlaubt es Unendlichkeit fest zu definieren und dann damit zu arbeiten.
Für mich ist das eber wie schon gesagt nur eine reine Überlegung. Die Mathematik darauf mag in sich korrekt sein, aber wenn daraus nichts reales ableitbar ist, dann ergeben für mich auch jegliche Gedankenexperimente dahingehend nicht sonderlich viel Sinn. Denn in einem Gedankenexperiment versucht man immer den Bezug zur Wirklichkeit zu begreifen (wie kann das funktionieren, wie könnte das aussehen, wie läuft sowas ab) aber da es sich nur um eine abstrakte überlegung handelt, aus welcher heraus dieses Gedankenproblem erst entsteht sehe ich darin keinen Mehrwert sich darüber den Kopf zu zerbrechen. Man zerbricht sich den Kopf über etwas was komplett konstruiert und keinen Realitätsbezug hat. Gibt sicherlich auch unzählige weitere dinge über die man sich grundlos den Kopf zerbrechen kann, wie z.B. "warum exisitiert ETWAS überhaupt"... usw. Das ist mMn. eben das Level auf dem wir uns bewegen wenn man sich über solche mathematischen Probleme gedanken macht. Man erzeugt fragen, die nicht zu beantworten sind, weil man probleme und fragen in einem Regelwerk findet, das sich eh nur ausgedacht wurde - um es mal ganz simpel und provokativ zu formulieren.

[Badesalz]

@Relex
Es ist noch nicht mal der März durch und du hast schon einen Kandidaten für den Beitrag des Jahres rausgehauen. Sehr sehr cool :massa:

[aths]

Die bekommen die Studierenden ja schon, wenn sie zwischen zwei vermeintlich unterschiedlich großen Mengen einen bijektive Abbildung erzeugen und damit dann zeigen, dass sie doch gleichmächtig sind. Da macht der Kopf das erste mal "Aua".Ich hab, natürlich dabei nur punktuell mich mit Unendlichkeit beschäftigt, Jahre gebraucht, das wirklich einzusehen.

Auch dass statistisch in bestimmten Fragen, die Unendlichkeit mit einbeziehen ein Ereignis dessen Wahrscheinlichkeit 0%, eintreffen kann und etwas dessen Wahrscheinlichkeit 100%, nicht eintreffen muss. Noch so etwas wo man ritterlich aufstehen will mit gehobener Stimme "aber!!!" zu rufen, um den Verstand zu verteidigen. Ist aber so. Wahrscheinlich, irgendwann mit einem Würfel eine 6 zu würfeln? 100% Muss es wirklich eintreten? Nö.


Für mich ist das Problem, dass die Mathematik Unendlichkeit als fertiges Objekt behandelt. Für mich ist Unendlichkeit aber eher ein potenzieller Prozess. Man kann immer weiter zählen, immer weitere Elemente erzeugen, aber der Prozess ist per Definition nie abgeschlossen.

Wenn eine Menge niemals vollständig „fertig“ sein kann, finde ich es fragwürdig, ihr eine feste Größe zuzuordnen oder zwei solcher Mengen zu vergleichen. Das wär ungefähr so, als würde man „unendlich“ mit „unendlich + 1“ vergleichen und daraus eine Größenordnung ableiten.

Mir ist schon klar, dass Cantors Mengenlehre das in der Mathematik alles sauber definiert, aber rein gedanklich überzeugt mich das überhaupt nicht, Unendlichkeiten als vollständige Objekte zu behandeln.

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Das meiste oder vermutlich auch alles was physikalisch existiert, lässt sich (früher oder später) mathematisch nachvollziehen. Aber die Realität hat eben ganz klare Limits und Einschränkungen die in der Mathematik nicht gelten müssen. Deswegen sind Physik und Mathematik ja auch unterschiedliche Fachbereiche. Die Mathematik definiert nicht die Physik oder Realität.Das ist eine der großen Leistungen von Cantor. Seine Mengenlehre musste später neu erdacht werden weil sie einen Fehler hatte, aber er hatte schon gezeigt dass es Sinn ergibt, mit Mengen zu operieren die undendlich viele Elemente enthalten kann. Das ist nicht unbedingt intuitiv.

Aber machbar. Beim Vergleich der Größe der Menge von natürlichen Zahlen und der Bruchzahlen, würde man nach und nach pro Element aus der Menge der natürlichen Zahlen ein Element aus der Menge Brüche entfernen, würde man nie fertig. Entfernt man hingegen gleichzeitig pro Element aus der einen Menge eine Element aus der anderen, wären beide leer.

Anders, wenn die zweite Menge die reellen Zahlen umfasst. Die wäre dann nicht leer.

[ChaosTM]

C8pCekidqcQ


wir können es niemals verstehen


Auch wenn und die Kirche unendliches erzählt..

[Relex]

mMn. gibt es da auch nichts zu verstehen. Warum sollte ich etwas verstehen wollen, was keinerlei reale Relevanz haben kann?

[ChaosTM]

hJrhdngaR7g


unedlichkeit


will es verstehen, kann es natürlich nicht

[Badesalz]

mMn. gibt es da auch nichts zu verstehen. Warum sollte ich etwas verstehen wollen, was keinerlei reale Relevanz haben kann?Wie auch? Man beachte :wink: Mathematik ist keine Naturwissenschaft. Durch den Aufstieg und Herrschaft der binären Komputerei hat sie das Selbstverständnis entwickelt, sie wäre die Königsdisziplin.

Ist sie aber nicht. Sie war es davor und sollte es zwingend wieder werden, das Werkzeug der Naturwissenschaften.

Wie ich aber schon erwähnte, neuzeitlich hat die Teilchenphysik stark dazu beigetragen das Geschwür wuchern zu lassen. Man hat zugelassen, daß Mathematiker sich für theoretische Physiker halten dürfen. Ab da nahm das Übel seinen unrühmlichen Lauf.