aths
2026-04-04, 21:29:51
Eines meiner Lieblingsthemen. Im letzten Posting ging es um unendlich viele Bruchzahlen, auch rationale Zahlen genannt, sowie reelle Zahlen. Die antiken Griechen agierten natürlich bereits mit Brüchen, aber auch mit bestimmten reellen Zahlen.
Sie konstruierten dazu gerne Gebilde mit einem Lineal – ohne Markierungen – und einem Zirkel. Mit dem Lineal kann man einen Strich zeichnen, mit dem Zirkel einen Abstand einstellen, diesen einfach als "Größe Eins" festlegen, irgendwo auf der Linie einen kleinen senkrechten Strich einfügen, dann genau dort mit dem Zirkel auf der Linie einstechen und mit dem anderen Ende des Zirkels eine neue Markierung machen. Damit haben wir nun etwas, das Zwei entspricht.
Die Griechen waren nicht dumm, über mehrstufige Verfahren kann man mit Lineal und Zirkel nicht nur addieren und natürlich auch subtrahieren, sondern sogar multiplizieren. Und dividieren. Also sind Bruchzahlen 'konstruierbar'. Man kann auch rechte Winkel konstruieren, dann daraus ein Quadrat erstellen und einfach den Zirkel auf die Diagonale des Quadrats einstellen. Mit anderen Worten, wir können Quadratwurzeln ziehen. Krass!
Jedenfalls wenn unsere Konstruktionen hundert Prozent genau wären. In Echt sind sie das natürlich nicht, aber das ist uns egal. Es geht nur um die prinzipielle Konstruierbarkeit unter der Annahme, dass man absolut exakt zeichnen könnte. Die Griechen selbst zeichneten oft im Sand. Das ist nicht besonders genau aber es geht um die Idee: Alles was sich mit markierungslosem Lineal und einem Zirkel in endlich vielen Schritten machen lässt, gilt im klassischen Sinn als konstruierbar.
Mich fasziniert der Zusammenhang zwischen Geometrie mit einfachsten Mitteln, und Rechnen mit Zahlen. Um es salopp auszudrücken, die Babylonier hatten schon lange ein Verfahren entwickelt, um eine Quadratwurzel ungefähr auszurechnen. Die Griechen sagten, wir konstruieren die Wurzel einfach. Man kann auch Fünfecke konstruieren und darüber den goldenen Schnitt erhalten. Wie geil ist das denn? Wir haben zwei primitive Werkzeuge und erarbeiten uns damit schon so viele Sachen? Dass sich ausgerechnet ein Fünfeck konstruieren lässt, hat übrigens etwas mit einer wichtigen Unterklasse von Primzahlen zu tun.
Wurzel, goldener Schnitt, man kann aber auch einen Ausdruck √(1+√(2)) berechnen, also Wurzeln innerhalb von Wurzeln. Man kann viele Winkel konstruieren und dann am Einheitskreis den man mit dem Zirkel gemalt hat, Sinus und Cosinus ablesen und in diesem Sinne 'berechnen'. Weiß nicht ob irgendeiner hier im 3dcf das interessant findet, ich auf jeden Fall. Da wir auch Division konstruieren können, erhalten wir den Tangens kostenlos dazu. So viel Mathe, so viele Funktionen kann man mit nur zwei Werkzeugen hinbekommen!
Man kann auch einen beliebigen Winkel in zwei genau gleiche Teile zerlegen. 90° und viele andere Winkel kann man auch in genau drei gleiche Teile zerlegen. Kann man jeden beliebigen Winkel exakt dreiteilen, ohne ein zusätzliches Konstruktionswerkzeug zu nutzen? Darüber zerbrachen sich die Leute ihre Köpfe. Es ging nicht darum, dass die Dreiteilung genau genug war. Sie musste nach endlich vielen Schritten exakt sein. Es ließ sich kein allgemeingültiges Verfahren finden. Das heißt natürlich nicht, dass es keines gibt. Vielleicht muss da nur endlich mal ein Schlauer daherkommen, mit der richtigen Idee. Es dauerte richtig lange bis sich beweisen ließ dass es wirklich nicht immer geht. Erscheint absurd, denn nur weil diese Leute keinen Weg gefunden haben, könnte es ja doch irgendwie eine Methode geben, irgendwie einen Trick mit einem Hilfskreis oder so.
Falsch gedacht. Man kann zeigen, dass um den Winkel von 60° in drei Teile zu teilen, die Kubikwurzel konstruiert werden müsste um die drei 20°-Teilwinkel zu erhalten. Kubikwurzel geht mit Lineal und Zirkel nur unter extrem engen Voraussetzungen, die bei einem 20°-Winkel leider nicht geboten werden. Es gibt noch mehr Gegenbeispiele, aber ein einzelner reicht ja schon.
Wir müssen noch mal kurz zum vorherigen Posting mit den Unendlichkeiten. Mit Lineal und Zirkel sind unendlich viele Winkel exakt dreiteilbar. Aber nur abzählbar unendlich viele. Die Menge aller denkbaren Winkel ist überabzählbar. Und trifft durchaus auch mal glatte Zahlen, wie 60°. Kannste nicht dreiteilen.
Die Winkel bei denen Dreiteilbarkeit geboten wird, liegen dicht, das heißt zwischen diesen Winkeln gibt es keinen Mindestabstand. Und gibt es trotzdem Werte wie 60°, die sich nicht dreiteilen lassen. Gilt auch für 24, 25 oder 26°. Hingegen kann man 22,5° dreiteilen. 157,5° auch.
Das alles ist reine Mathe, wenn ein Ingenieur der einen Winkel dreiteilen müsste aber keine modernen Werkzeuge sondern nur Zirkel und Lineal hat, könnte er das mit wenigen Konstruktionsschritten schon so genau tun, dass wir mit bloßem Auge keinen Unterschied sehen. Konstruierbare Zahlen sehe ich als sinnvolle – und historisch relevante – Erweiterung von Bruchzahlen. Denkt man darüber nach, verbinden sich Konzepte von Unendlichkeiten, der goldene Schnitt kommt vor, und zumindest in einer Teilmenge sogar Primzahlen, nämlich alle Primzahlen die sich als 2^(2^n)+1 ausdrücken lassen.
Sie konstruierten dazu gerne Gebilde mit einem Lineal – ohne Markierungen – und einem Zirkel. Mit dem Lineal kann man einen Strich zeichnen, mit dem Zirkel einen Abstand einstellen, diesen einfach als "Größe Eins" festlegen, irgendwo auf der Linie einen kleinen senkrechten Strich einfügen, dann genau dort mit dem Zirkel auf der Linie einstechen und mit dem anderen Ende des Zirkels eine neue Markierung machen. Damit haben wir nun etwas, das Zwei entspricht.
Die Griechen waren nicht dumm, über mehrstufige Verfahren kann man mit Lineal und Zirkel nicht nur addieren und natürlich auch subtrahieren, sondern sogar multiplizieren. Und dividieren. Also sind Bruchzahlen 'konstruierbar'. Man kann auch rechte Winkel konstruieren, dann daraus ein Quadrat erstellen und einfach den Zirkel auf die Diagonale des Quadrats einstellen. Mit anderen Worten, wir können Quadratwurzeln ziehen. Krass!
Jedenfalls wenn unsere Konstruktionen hundert Prozent genau wären. In Echt sind sie das natürlich nicht, aber das ist uns egal. Es geht nur um die prinzipielle Konstruierbarkeit unter der Annahme, dass man absolut exakt zeichnen könnte. Die Griechen selbst zeichneten oft im Sand. Das ist nicht besonders genau aber es geht um die Idee: Alles was sich mit markierungslosem Lineal und einem Zirkel in endlich vielen Schritten machen lässt, gilt im klassischen Sinn als konstruierbar.
Mich fasziniert der Zusammenhang zwischen Geometrie mit einfachsten Mitteln, und Rechnen mit Zahlen. Um es salopp auszudrücken, die Babylonier hatten schon lange ein Verfahren entwickelt, um eine Quadratwurzel ungefähr auszurechnen. Die Griechen sagten, wir konstruieren die Wurzel einfach. Man kann auch Fünfecke konstruieren und darüber den goldenen Schnitt erhalten. Wie geil ist das denn? Wir haben zwei primitive Werkzeuge und erarbeiten uns damit schon so viele Sachen? Dass sich ausgerechnet ein Fünfeck konstruieren lässt, hat übrigens etwas mit einer wichtigen Unterklasse von Primzahlen zu tun.
Wurzel, goldener Schnitt, man kann aber auch einen Ausdruck √(1+√(2)) berechnen, also Wurzeln innerhalb von Wurzeln. Man kann viele Winkel konstruieren und dann am Einheitskreis den man mit dem Zirkel gemalt hat, Sinus und Cosinus ablesen und in diesem Sinne 'berechnen'. Weiß nicht ob irgendeiner hier im 3dcf das interessant findet, ich auf jeden Fall. Da wir auch Division konstruieren können, erhalten wir den Tangens kostenlos dazu. So viel Mathe, so viele Funktionen kann man mit nur zwei Werkzeugen hinbekommen!
Man kann auch einen beliebigen Winkel in zwei genau gleiche Teile zerlegen. 90° und viele andere Winkel kann man auch in genau drei gleiche Teile zerlegen. Kann man jeden beliebigen Winkel exakt dreiteilen, ohne ein zusätzliches Konstruktionswerkzeug zu nutzen? Darüber zerbrachen sich die Leute ihre Köpfe. Es ging nicht darum, dass die Dreiteilung genau genug war. Sie musste nach endlich vielen Schritten exakt sein. Es ließ sich kein allgemeingültiges Verfahren finden. Das heißt natürlich nicht, dass es keines gibt. Vielleicht muss da nur endlich mal ein Schlauer daherkommen, mit der richtigen Idee. Es dauerte richtig lange bis sich beweisen ließ dass es wirklich nicht immer geht. Erscheint absurd, denn nur weil diese Leute keinen Weg gefunden haben, könnte es ja doch irgendwie eine Methode geben, irgendwie einen Trick mit einem Hilfskreis oder so.
Falsch gedacht. Man kann zeigen, dass um den Winkel von 60° in drei Teile zu teilen, die Kubikwurzel konstruiert werden müsste um die drei 20°-Teilwinkel zu erhalten. Kubikwurzel geht mit Lineal und Zirkel nur unter extrem engen Voraussetzungen, die bei einem 20°-Winkel leider nicht geboten werden. Es gibt noch mehr Gegenbeispiele, aber ein einzelner reicht ja schon.
Wir müssen noch mal kurz zum vorherigen Posting mit den Unendlichkeiten. Mit Lineal und Zirkel sind unendlich viele Winkel exakt dreiteilbar. Aber nur abzählbar unendlich viele. Die Menge aller denkbaren Winkel ist überabzählbar. Und trifft durchaus auch mal glatte Zahlen, wie 60°. Kannste nicht dreiteilen.
Die Winkel bei denen Dreiteilbarkeit geboten wird, liegen dicht, das heißt zwischen diesen Winkeln gibt es keinen Mindestabstand. Und gibt es trotzdem Werte wie 60°, die sich nicht dreiteilen lassen. Gilt auch für 24, 25 oder 26°. Hingegen kann man 22,5° dreiteilen. 157,5° auch.
Das alles ist reine Mathe, wenn ein Ingenieur der einen Winkel dreiteilen müsste aber keine modernen Werkzeuge sondern nur Zirkel und Lineal hat, könnte er das mit wenigen Konstruktionsschritten schon so genau tun, dass wir mit bloßem Auge keinen Unterschied sehen. Konstruierbare Zahlen sehe ich als sinnvolle – und historisch relevante – Erweiterung von Bruchzahlen. Denkt man darüber nach, verbinden sich Konzepte von Unendlichkeiten, der goldene Schnitt kommt vor, und zumindest in einer Teilmenge sogar Primzahlen, nämlich alle Primzahlen die sich als 2^(2^n)+1 ausdrücken lassen.