Extrapolations-Problem

[aths]

Ich habe folgende Tabelle:

X Y

6 300
8 450
10 650
12 1050

und möchte wissen, welche Funktion (mit X Quadrat bzw. welche exponentielle Funktion) diese Reihe am ehesten annähert, um Y für X=3 abzuschätzen. Wie setzt man da am besten an?

[Stone2001]

hmm, in der numerischen Mathematik gibt es ein Verfahren, genannt Polynominterpolation. Das heißt man braucht ein paar (meistens n) Stützstellen (d.h. den Funktionswerte für ein bestimmtes x) und dann bekommt man ein Polynom vom Grad n-1 zurück. Das ganze läuft glaub ich mit dem Schema von Neville ab.

Oder andere Möglichkeit wäre ein "Brute Force"-Algorithmus. Wenn du meinst, das die Funktion die Form f(x) = a * x^b hat, dann schreib doch ein Programm, das dir für gegebene a's und b's jeweils den echten Funktionwert deiner 3 Stützstellen liefert. Diese drei Werte kannst du dann z.b. vom dem echten Werten abziehen und wenn er gegen Null geht, kannst du schonmal sicher sein, das du ne recht gute Approximation an die echte Funktion hast!

[Stone2001]

OK, wenn mein Algo nicht den größen Denkfehler aufweist und die Funktion die Form f(x) = a * x^b + c hat, dann wäre f(x) = 7 * x² + 40 eine recht gute Approximation (es bleibt nur ein Restfehler von 138) für deine Werte.

Dem zufolge wäre dann f(3) = 7 * 3² + 40 = 103!

[aths]

Hi,

für x=3 ca. y=100 rauszukriegen, war auch mein Erwartungswert :D

Mein Problem ist, dass ich zwar ein Interpolationspolynom bilden könnte, mich aber schwer tue, wenn es gilt, mittels Approximation zu extrapolieren. Dass diese Werte ein stark nichtlineares Verhalten haben, sieht man. Ob sie aber polynominal oder exponentiell ansteigen, sehe ich leider nicht mehr.

[Braincatcher]

Original geschrieben von aths
Hi,

für x=3 ca. y=100 rauszukriegen, war auch mein Erwartungswert :D

Mein Problem ist, dass ich zwar ein Interpolationspolynom bilden könnte, mich aber schwer tue, wenn es gilt, mittels Approximation zu extrapolieren.

?-) Lernt man sowas auch in der Schule?

[aths]

Original geschrieben von Braincatcher
?-) Lernt man sowas auch in der Schule? Ja und nein. Mit dem Abiturstoff und etwas nachdenken sollte jeder es schaffen, ein Interpolationspolynom 3. Grades aufstellen zu können. (Das führt nämlich zu einem linearen Gleichungssystem mit 4 Unbekannten, was noch "zu Fuß" lösbar ist.)

Nichtlineare Extrapolation ist schon etwas schwieriger. Lineare Regression ("Methode der kleinsten Quadrate") hingegen könnte man afaik noch auf Abiturstoff aufbauend machen. Das lässt sich mit Matrizenrechnung sehr elegant lösen, ist jedoch auch ohne Matrizen hinzukriegen.

Leider weist meine Wertetabelle keine lineare Abhängigkeit auf...

Es ging um Kostenschätzung. Ich stellte Öffnung und Preis einer gewissen Teleskop-Klasse gegenüber, und wollte abschätzen, was so ein Teleskop bei sehr kleiner Öffnung kosten könnte.

[Stone2001]

Original geschrieben von aths
Hi,

für x=3 ca. y=100 rauszukriegen, war auch mein Erwartungswert :D

Mein Problem ist, dass ich zwar ein Interpolationspolynom bilden könnte, mich aber schwer tue, wenn es gilt, mittels Approximation zu extrapolieren. Dass diese Werte ein stark nichtlineares Verhalten haben, sieht man. Ob sie aber polynominal oder exponentiell ansteigen, sehe ich leider nicht mehr.
hmm, also wenn ich mir die errechneten Werte so anschaue, dann würd ich sagen, das deine Funktion polynomial ist und auf keinen Fall exponentiell. (Für polynomial bekomme ich schon recht gute Approximationen, die Approximationen für E-Funktionen liegen mindestens um Faktor 2 darüber)