Lineare Algebra: Frage zu Abbildungen

[()V()r.Freeze]

Für die Wissenschaft ist das vermutlich zu trivial, daher Offtopic :)

Folgendes Problem: Ich habe eine Ebene E (durch den Ursprung) gegeben, welche durch zwei Vektoren aufgespannt wird. Ich soll nun die Matrix zur
Spiegelung an der Ebene E angeben.

In meinem Skript steht, dass der Endorphismus (der Spiegelung) durch die Matrix
1 0 0
0 1 0
0 0 -1
repräsentiert wird.
Mein Vorgehen war nun, aus den beiden gegebenen Vektoren den Richtungsvektor zu errechnen, und diesen mit der angebenen Matrix
zu multiplizieren. Wird von unserer Software (Wir werden im Labor mit Maple
geprüft) aber als falsch angezeigt. Hat jemand einen Tipp für mich?

[pest]

deine Spiegelungsmatrix M ergibt sich mittels M=E-2*n*n^T

E ist die Einheitsmatrix, n der Normalenvektor der Ebene mit n*x=0 und |n|=1

[()V()r.Freeze]

deine Spiegelungsmatrix M ergibt sich mittels M=E-2*n*n^T

E ist die Einheitsmatrix, n der Normalenvektor der Ebene mit n*x=0 und |n|=1

Wird probiert, dank dir :)
Den Normalenvektor hatte ich auch schon errechnet, habe aber nur versucht ihn mit der oben geposteten Matrix zu multiplizieren

[Pinoccio]

deine Spiegelungsmatrix M ergibt sich mittels M=E-2*n*n^T

E ist die Einheitsmatrix, n der Normaleneinheitsvektor der Ebene mit n*x=0 und |n|=1Eine Möglichkeit.

Du könntest auch deine Spiegelungsmatrix errechnen, in dem du die gegebene Matrix

1 0 0
S= 0 1 0
0 0 -1nutzt.
S spiegelt an der x-y-Ebene bzw. macht aus der z-Koordinate -z.
Nun kannst du dir mit deine beiden aufspannenden Vektoren v1 und v2 sowie dem Normalenvektor n die Basistransformationsmatrix B erstellen, wobei B=(v1, v2, n) ist (d.h. die Spalten von B sind gerade die Vektoren). B^-1 dreht also deine Ebene insbesondere in die x-y-Ebene.
B*S*B^-1 spiegelt dann an deiner von v1 und v2 aufgespannten Ebene.
Diesen Weg finde ich anschaulicher, weil er die Spiegelung an einer beliebigen Ebene auf die bereits bekannte, einfachere Spiegelung an einer Koordinatenebene zurückführt. Rechentechnisch ist er aufwendiger.
Pests Weg geht viel schneller, aber es ist nicht so anschaulich klar, wieso er funktioniert.

mfg

[()V()r.Freeze]

Danke euch beiden,

aber irgendwie bekomm ichs nicht hin. Mach jetzt erstmal was anderes, probiere es heute abend nochmal.

[pest]

Eine Möglichkeit.


hör auf mich zu korrigieren ;) - |n|=1 bedeutet schließlich das ich den normierten vektor meine


aber irgendwie bekomm ichs nicht hin. Mach jetzt erstmal was anderes, probiere es heute abend nochmal.

poste mal deine ebene

[()V()r.Freeze]

Mom, muss erst den Lappi und VPN anwerfen ;)

[()V()r.Freeze]

Hier mal die Aufgabe:
http://img382.imageshack.us/img382/7332/blao.jpg

[pest]

eine Lösung ist imo einfach


1 0 0
M= 0 -1 0
0 0 1


bzw. die Lösung ist auch nicht eindeutig

[()V()r.Freeze]

Nope, wird als falsch angezeigt

[pest]

sorry, letzte zeile war falsch

[()V()r.Freeze]

Also
1 0 0
0 1 0
0 0 -1

tut nicht. Das hatte ich auch schon versucht.

1 0 0
0 -1 0
0 0 1

auch nicht.

[pest]

ich habe die Lösung ja nich geraten

wie überprüfst du die Lösung denn?

[()V()r.Freeze]

Eintippen und schauen ob ein Haken dran is :) Bin kurz davor aufzugeben. Das Labor hat 15 Aufgaben, 14 bekomm ich hin, nur diese eine nicht :(

[pest]

hm, seltsam, ich hab ja Pinoccio's Variante genommen :D

die erste ist über Householder, wie mein Vorschlag oben, der Rest wie Pinoccio es vorgeschlagen hat

http://www.abload.de/img/aufgabe_vektork1j3.jpg

[()V()r.Freeze]

Hätte vielleicht auch mal die konkreten Zahlenwerte nehmen sollen :D

Danke für deine Mühe

[Pinoccio]

hör auf mich zu korrigieren ;) - |n|=1 bedeutet schließlich das ich den normierten vektor meineIch wollts nur anmerken. ;-)
(Der Hintergrund ist, daß ich letzten eine Klausur geschrieben schreiben lassen habe, die eine ganz ähnliche Aufgabe beinhaltete. Da lag ein wesentlicher Punkt zum einfachen Lösungsweg eben genau darin, daß n der Normaleneinheitsvektor war.
Aber das wird oT.)
hm, seltsam, ich hab ja Pinoccio's Variante genommen :D

die erste ist über Householder, wie mein Vorschlag oben, der Rest wie Pinoccio es vorgeschlagen hat

http://www.abload.de/img/aufgabe_vektork1j3.jpgHinweis für die Rechnung von Hand: Bei den konkreten Zahlen ist |u|=|v|=1, damit wird B orthogonal und die Bildung der Inverses verkommt zur Transposition.
Damit muß n auch nicht normalisiert werden (denn mit |n|=|u x v|=|u|*|v|*cos(u,v) und u⊥v ist |n|=1), in den vorgegebenen Grenzen der Genauigkeit hier aber kein Problem, die Matrix ist nicht böse (http://de.wikipedia.org/wiki/Konditionszahl#Kondition_von_Linearen_Abbildungen).

Ansonsten bekomme ich ebenfalls die von Pest geposteten Ergebnisse raus, lediglich das 2. (also da wo quasi z gespiegelt wird) kann ich nicht nachvollziehen, alle 3 Wege sollten exakt das gleiche Ergebniss liefern.
bzw. die Lösung ist auch nicht eindeutigDoch, wie gesagt, ich versteh nciht, wo dein 2. herkommt.

mfg

[pest]

Doch, wie gesagt, ich versteh nciht, wo dein 2. herkommt.


Um ehrlich zu sein, das hat mich auch gewundert, aber da hat wohl mein "ein CAS hat immer Recht"-Gefühl durchgeschlagen.

Die 3. Lösung (deines Rechenweges) ist ja auch anders. :confused:
ich schau mir das später nochmal an, oder vielleicht weißt du wo der Fehler ist.

[Pinoccio]

Die 3. Lösung (deines Rechenweges) ist ja auch anders. :confused:
ich schau mir das später nochmal an, oder vielleicht weißt du wo der Fehler ist.Irgendwie scheint das was mit der Normierung von n zu tun zu haben. Jedenfalls bekomme ich sowohl dein komisches Ergebnis mit den Einsen als auch den Vorzeichenwechsel, wenn ich da etwas durcheinanderbringe. Für ausführliche Tests fehlt mir leider die Zeit. ;-) (http://www.google.de/search?hl=de&safe=off&client=firefox-a&rls=org.mozilla%3Aen-US%3Aofficial&hs=vl7&q=%E2%80%9Eje+n%27ai+pas+le+temps%E2%80%9C+site%3Ade.wikipedia.org&btnG=Suche&meta=lr%3Dlang_de)

mfg