Physik Problem-->ungleichmäßige Beschleunigung

[Skiploser]

Nabend,

ich grübel nun seit 20min über ein physikalisches Problem und zwar;

Ein Fahrzeug beschleunigtt ungleichmäßig aus dem Stillstand zu einer Maximalen Geschwindigkeit von 20km/h!
Man soll sich nun ein Koordinatensystem vorstellen für die X-Achse gleich die Geschwindigkeit in 5km/h Intervallen. Die Y-Achse zeigt die unterschiedlichen Beschleunigungswerte. Um die Sache zu approximieren werden die einzelnen 5km/h intervalle mit Geraden genähert. Ich möchte nun wissen wie lange ein Intervall andauert, also die Zeit die benötigt wird um z.B. von 0km/h-5km/h zu beschleunigen oder von 5km/h auf 10km/h zu kommen? Ich möche die ingesamte Zeit errechnen von 0km/h bis 20km/h.

Wie würdet ihr an die Sache herangehen ?

grüße

[Oberon]

Verstehe die Aufgabenstellung rein gar nicht.
So wie du es schreibst ist nur gegeben: ein Fahrzeug beschleunigt irgendwie auf 20km/h.
Das kann es auf unendlich viele Weisen tun und beliebig lange dafür benötigen.

[Skiploser]

Hi,

also die abhängigkeit zwischenn der Zeit und der Geschwindigkeit soll über die Beschleunigung hergestellt werden ! Beschleunigung bedeutet ja nichts anderes als Geschwindigkeitsänderung pro Zeit.

ich versuchs mal über eine andere Sichtweise auszudrücken!

X-Achse= Km/h
Y-Achse=m/s^2

Die Beschleunigung beginnt bei 0km/h und endet bei 5km/h! Am Punkt 0Km/h ist die Beschleunigung 0m/s^2! Am Punkt 5km/h ist die Beschleunigung 0,3m/s^2! Also in anderen Worten es ergibt sich eine gerade zwischen den beiden Geschwindigkeiten! Meine Frage wie komme ich auf die Zeit die vergeht um auf die 5km/h zu beschleunigen?

Grüße

[Langenscheiss]

Durch die geraden bekommst du einen Zusammenhang:

d^2r(t)/dt^2 = c1*dr(t)/dt + c0. Anhand der Werte kannst du für jeden Abschnitt c1 und c0 bestimmen. Dann erhälst du für jeden Abschnitt eine gewöhnliche DGL. Diese stückweise lösen, da c1 und c0 konstant sind, einfach einen verschobenen e-Ansatz machen. Nun hast du r(t) und damit auch a(t) und v(t). Falls a(t)/v(t) injektiv ist, kannst du die Zeit bestimmen. Die Anfangswerte für die DGL sind ja jeweils die gegebenen Punkte. Du kannst deswegen ja auch jedes Intervall einzelnt betrachten und die Zeiten nachher addieren. Musst dabei nur aufpassen, dass du die Intervalle einhälst.
Aber sag mal, wer gibt dir denn solche Aufgaben, wenn du offenbar noch nicht weißt, wie man sowas löst? Sowas mussten wir zumindest im experimentellen Fach auch im Studium nicht lösen, weil man schlicht 5 oder 6 mal das gleiche Prinzip anwenden muss.

[Oberon]

Durch die geraden bekommst du einen Zusammenhang:

d^2r(t)/dt^2 = c1*dr(t)/dt + c0. Anhand der Werte kannst du für jeden Abschnitt c1 und c0 bestimmen. Dann erhälst du für jeden Abschnitt eine gewöhnliche DGL. Diese stückweise lösen, da c1 und c0 konstant sind, einfach einen verschobenen e-Ansatz machen. Nun hast du r(t) und damit auch a(t). Falls a(t) injektiv ist, kannst du die Zeit bestimmen.
Genau diesen Ansatz wollte ich auch vorschlagen. Allerdings plottet er ja a(t) gegen v(t), von daher reicht ne DGL 1. Ordnung.
Also noch mal anders ausgedrückt:
du plottest dir gegen eine Funktion ihre Ableitung und nimmst dann einen stückweise linearen Zusammenhang an. Die einzige Art von Fktn., deren Abl. linear von ihr abhängt, sind Exponentialfunktionen. Mit dieser Annahme machst du einen Ansatz analog wie im Zitat beschrieben und kannst für jedes quantisierte Zeitintervall die DGL lösen (das dürfte by inspection gehen) und hast deine Funktion. Dann hast du dein v(t) und kannst über die Umkehrfunktion die Zeit bestimmen.

Btw. die Aufgabe ist nicht unbedingt trivial - ich nehme nicht an, dass es sich um eine Aufgabe aus einem Physikschulbuch handelt?

[Spasstiger]

Zur Erklärung von Langenscheiss' Ansatz:
Weg über der Zeit: r(t)
Geschwindigkeit: v(t) = dr(t)/dt (Ableitung von r(t))
Beschleunigung: a(t) = d²r(t)/dt² (zweite Ableitung von r(t))
Beschleunigung über der Geschwindigket als Gerade: a(v(t))=a(t)=c1*v(t)+c0
c1 ist dabei die Geradensteigung, c0 der y-Achsenabschnitt, beides aus dem Schaubild ablesbare Konstanten (Einheiten beachten!).

P.S.: Differenzialgleichungen hatten wir schon im Schulunterricht (Physik-Leistungskurs, Mathe-Leistungskurs).

[Langenscheiss]

Genau diesen Ansatz wollte ich auch vorschlagen. Allerdings plottet er ja a(t) gegen v(t), von daher reicht ne DGL 1. Ordnung.


Richtig, er muss eh nur v kennen. Allerdings ist die Lösung in diesem Fall ähnlich einfach. Außerdem ist meins das Standardverfahren in der Physik. (also Newtongleichung mit konstantem Potential). Wen gleich man jede Art dieser DGL auf ein System 1. Ordnung zurückführen kann, und dann nach dem EV/EW-Verhahren löst.
Die Aufgabe ist auf den ersten Blick nicht trivial, weil man irgendwie versucht, mit diesen Standardformel dranzugehen. Is mir auch passiert. Aber mathematisch isses MatheLK12/13 (je nachdem, welches Bundesland) bzw. 1. Semester Physik-Studium.

Und zur Lösung: Du musst zunächst die homogene Gleichung lösen. Das machst du, indem du c0 = 0 setzt und a durch v teilst. Integration und feddich. Die homogene Lösung ist dann bis auf eine Konstante frei. Setzt diese Konstante als Funktion von t an und setzte in DGL ein. Du erhälst eine homogene Gleichung für die Konstante, die du genau wie vorher löst (Variation der Konstanten). Du erhälst die allgemeine Lösung (nach dem Satz von ..., auf jeden Fall irgendwas mit Picard-Lindelöf etc.).

[Oberon]

Zur Erklärung von Langenscheiss' Ansatz:
Weg über der Zeit: r(t)
Geschwindigkeit: v(t) = dr(t)/dt (Ableitung von r(t))
Beschleunigung: a(t) = d²r(t)/dt² (zweite Ableitung von r(t))
Beschleunigung über der Geschwindigket als Gerade: a(v(t))=a(t)=c1*v(t)+c0
c1 ist dabei die Geradensteigung, c0 der y-Achsenabschnitt, beides aus dem Schaubild ablesbare Konstanten (Einheiten beachten!).

P.S.: Differenzialgleichungen hatten wir schon im Schulunterricht (Physik-Leistungskurs, Mathe-Leistungskurs).
Richtig, er muss eh nur v kennen. Allerdings ist die Lösung in diesem Fall ähnlich einfach. Außerdem ist meins das Standardverfahren in der Physik. (also Newtongleichung mit konstantem Potential).
Die Aufgabe ist auf den ersten Blick nicht trivial, weil man irgendwie versucht, mit diesen Standardformel dranzugehen. Is mir auch passiert. Aber mathematisch isses MatheLK12/13 (je nachdem, welches Bundesland) bzw. 1. Semester Physik-Studium.
Richtig, gewohnt ist man immer nur einen Plot gegen die Zeit t, was DGLen unnötig macht.

Und also ich hatte Mathe LK in Bayern und DGLen kamen bei uns net dran :(.
Hm vllt mal im GK Physik ganz kurz, aber völlig unsystematisch und nur am Rande.

[Spasstiger]

Bei uns wurden DGLen in Mathe nur angesprochen, weil wir sie für den Physik-LK brauchten. Prüfungsrelevant waren DGLs nur im Physik-LK.

[Langenscheiss]

Im Physik-LK braucht man sie hautpsächlich für den harm. Oszillator in der EDynamik und für Kondensatoren/Spulen im Gleich/Wechselstrom, Mechanik kommt glaub ich net im LK???

[Oberon]

st die homogene Gleichung lösen. Das machst du, indem du c0 = 0 setzt und a durch v teilst. Integration und feddich. Die homogene Lösung ist dann bis auf eine Konstante frei. Setzt diese Konstante als Funktion von t an und setzte in DGL ein. Du erhälst eine homogene Gleichung für die Konstante, die du genau wie vorher löst (Variation der Konstanten). Du erhälst die allgemeine Lösung (nach dem Satz von ..., auf jeden Fall irgendwas mit Picard-Lindelöf etc.).
Ja oder man is so faul wie ich und tippts einfach ein :tongue:
http://www.abload.de/img/dgl3iwr.jpg

[Mosher]

geil, ich hab DGL´s in der FOS13 immer geliebt.

Gottseidank gibt´s die in der Elektrotechnik massig :biggrin:

[Sewing]

wobei ich sie in der Etechnik anstrengender finde, weil man sich das ganze schwerer vorstellen kann, als beispielsweise in der Mechanik

[Plutos]

Vielleicht denk' ich zu einfach, aber Differentialgleichungen etc.?

Wenn die Beschleunigung zwar variabel, aber in jedem Teilstück fest ist, dann: v=a*t, also t=v/a. Für die Teilstücke 2, 3 und 4 natürlich Delta-v und Delta-t zum vorherigen Teilstück.

[Sewing]

ist ja nichts anderes als das Euler polygonzugverfahren ; )


http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersches_Polygonzugverfahren

[Langenscheiss]

@Unu: 1. Ist die beschleunigung ja eben nicht fest und
2.Was bitte soll an der DGL des Ausgangsproblems schwierig sein? Das blöde an der Aufgabe ist nur, dass er das fünf mal oder so machen muss. Naja, kann ja einfach einmal allgemein lösen und dann Werte einsetzen. Dann noch jeweils nach t auflösen. Scheint nicht so schwierig, was das technische angeht. Aber die Tatsache, dass als Lösung für a(t) eine E-Funktion rauskommt, sagt doch schon, dass man hier nicht mit den Standardformeln weiterkommt.

[Spasstiger]

@Unu: Im Diagramm ist die Beschleunigung über der Geschwindigkeit aufgetragen und nicht über der Zeit. Da die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit über der Zeit ist, kommt man zwangsläufig auf eine Differentialgleichung, wenn man eine Funktion über der Zeit ermitteln will.