Frage Mengenlehre

[Quantar]

Ahoi, kann mir jemand informell den Unterschied zwischen der leeren Menge und der Null Menge erklären. Da bin ich gestern gnadenlos gescheitert =(

[Gunaldo]

leere: Man bezeichnet damit diejenige Menge, die keine Elemente enthält. Da Mengen gleich sind, wenn sie dieselben Elemente haben, gibt es nur eine einzige leere Menge.

Als Nullmenge bezeichnet man in der Mathematik eine Teilmenge eines Maßraums, die das Maß 0 hat. Sie ist nicht mit der leeren Menge zu verwechseln; tatsächlich kann eine Nullmenge sogar unendlich viele Elemente enthalten.

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[Quantar]

das grundlegende problem ist die "0". ich kenn als DEF nur "ist nicht identisch mit sich selber", wobei dies widderrum die leere menge bezeichnet. da dreh ich mich im kreis :-/

[Magnum]

Ist doch eigentlich ganz einfach:

Die leere Menge enthält kein Element! Deshalb heisst sie leer.
Die Nullmenge enthält die Null, also mindestens ein Element!

Spätestens jetzt müsste dir einleuchten, dass diese 2 Mengen verschieden sind.
Die Definition der Nullmenge hab ich nicht mehr sicher im Kopf, aber sie war in etwa so: In der Nullmenge sind alle Elemente (eines Raumes, Körpers, ...) enthalten, die verknüpft mit einem anderen beliebigen Elements des Raumes wieder ein Element der Nullmenge ergeben! (Bei den reellen Zahlen ist das nur die 0)

[Quantar]

das is mir klar, aber was ist der unterschied zwsichen null und nichts?

[huha]

Null ist was. Nichts ist nichts.

-huha

[Quantar]

Null ist was. Nichts ist nichts.

-huha
scheiß antwort... sry =(

[Gunaldo]

null ist eine ganz normale zahl (mit sonderbedingungen).

nichts ist eben wirklich nichts im wahrsten sinne des wortes.

:)

[Stone2001]

@Quantar:
Wie ist bei dir die Nullmenge definiert? (Sollte formal eingeführt worden sein) Meine LA-Bücher schweigen sich über diese Menge aus, ich habe hier nur die Definition von Wikipedia. Diese deckt sich relativ gut, mit dem was ich in Informatik über dicke und dünne Menge gelernt habe.

Hier noch mal die Def von Wikipedia:
Eine Menge M € R^n ist Nullmenge, wenn für alle ε > 0 gilt: Es existiert eine offene Überdeckung von M mit höchstens abzählbar unendlich vielen Quadern, und die Summe der Volumina dieser Quader ist kleiner als ε.

Damit ist klar, dass die leere Menge immer eine Nullmenge ist (ich kann die leere Menge immer mit einer abzählbar unendlichen Menge von Quadern abdecken). Aber auch die Menge Q ist in R eine Nullmenge, genauso wie eine Hyperebene (z.B. R² in R³).

Aber vielleicht hab ihr eine andere Definition!

[Plutos]

das is mir klar, aber was ist der unterschied zwsichen null und nichts?

Die leere Menge schreibst du meinetwegen als
{ }
(da ist jetzt offensichtlich "nichts" drin bzw. die Menge hat null Elemente). In dieser Menge hingegen
{ 0 }
ist die Null drin, d.h. die Menge hat zumindest ein Element, nämlich die Null. Ob du dazu jetzt "Null" sagst oder "X" oder "Eichhörnchen", ein Element bleibt ein Element ist mehr als kein Element ;).

[Dar1gaaz]

huha hat vollkommen recht, wenn du hier schon Schulfragen stellst, dann akzeptier auch die (immerhin vollkommen richtigen) Antorten

[Monger]

Null ist die leere Bierflasche neben deinem Fernseher. "Nichts" ist die Abwesenheit der Bierflasche neben deinem Fernseher.

[Kenny1702]

Es muß hier nicht mehr gespamt werden, Stone2001 hat das passende schon rausgesucht. So kenne ich es nämlich auch.

[Coda]

{ 0 }

Das ist nicht die Nullmenge, falls die Definition auf Wikipedia zutreffen sollte. Dann ist das ganze nämlich deutlich komplexer ;)

[Plutos]

Das ist nicht die Nullmenge, falls die Definition auf Wikipedia zutreffen sollte. Dann ist das ganze nämlich deutlich komplexer ;)

War auch nicht als Nullmenge gedacht, sondern als die Menge, die als einziges Element die Null enthält und somit die Mächtigkeit 1 hat (im Gegensatz zur leeren Menge, die die Mächtigkeit 0 hat, aber die Null natürlich nicht enthält).

"Null" ist zu verstehen im Sinne von "neutrales Element bzgl. der Addition bzw. der Verknüpfung "+"", "0" bzw. "1" wiederum im Sinne (einer) der Definition(en) natürlicher Zahlen.

[darkcrawler]

das is mir klar, aber was ist der unterschied zwsichen null und nichts?

dass die null-menge den inhalt 0 hat und die leere menge keinen

bin zwar nich das mathe ass, aber eine simple erklärung ist vielleicht:


nehmen wir als
beispiel 1
menge A = {1,0}, B = {2,0}
der durchschnitt von A und B ist {0}, eine menge, die nur die 0 enthält, ergo eine nullmenge

beispiel 2
menge A = {1,0}, C = {2,3}
der durchschnitt von A und C ist {leer} (argh, wie funzt das durchstreichen?!)

[Quantar]

Die grundlegenden strukturellen Unterschiede sind mir schon klar. Nur hab ich hier in einer DEF
0= Nx: x != x; Null ist das, was nicht mit sich selbst identisch ist.
Die Null wird also über die leere Menge definiert. Da will ich irgendwie nicht so recht mitgehen.