Rekursive Folge Grenzwert und Beschränkheit

[ESAD]

Ich habe folgende rekursive folge a0=2; an+1 = sqrt(4*an-3). Für diese müsste ich jetzt Monotonie, Beschränkheit und Grenzwerte beweisen.
Monotonie (streng monoton steigend) habe ich über vollständige Induktion hinbekommen.
Jetzt gibt aber irgendwie bei der Beschränkheit. Soweit ich weiß kann ich eine obere Schranke annehmen und diese mit vollständiger Induktion beweisen?
Nur wie genau geht man dabei vor?

[Der_Korken]

Die Beschränktheit ginge eigentlich auch noch relativ leicht per Induktion. Dabei kann man sich, wie du schon sagtest, einfach eine obere Schranke nehmen und dann induktiv zeigen, dass alle Elemente der Folge kleiner sind.


Falls a_n <=3 gilt (das ist für a_0 offensichtlich der Fall), dann gilt:

a_(n+1) = sqrt(4*a_n-3) <= sqrt(4*3-3) = sqrt(9) = 3


Beim Grenzwert müsste ich jetzt schon etwas länger überlegen :D

[johla]

Für den Grenzwert a gilt: a = sqrt(4a - 3) => a^2 - 4a + 3 = 0 => (a-1)(a-3) = 0, also ist der Grenzwert 1 oder 3. Welcher er ist, musst du abschätzen.